目次
- 06/23 コイルの作る磁場 - 電磁気学
- 06/23 円電流の作る磁場 - 電磁気学
- 06/18 カシミール効果(第六回） - 量子力学
- 06/14 カシミール効果（第5回） - 量子力学
- 06/11 カシミール効果（第四回） - 量子力学
- 06/10 本棚の一冊 「美しき凶器」 東野圭吾著 - つぶやき
- 06/09 カシミール効果（第三回目） - 量子力学
- 06/09 カシミール効果（第二回目） - 量子力学
| ≪ Prev. | ALL |
コイルの作る磁場
私にとって非常に思い出深い問題、コイルの作る磁場について考えたいと思います。
これは高校物理で「円電流がその中心に作る磁場」の次に出てきたトピックスだったと記憶しています。 当時の私の前提知識として、円電流がその中心に作る磁場
B（円電流） = μI/[2 a]
という公式がありました。 これは円電流の中心における磁場なのですが、ポイントは円電流の乗った平面から離れた位置では当然この式は成立しません。 当時私はその事を知りません。 とにかく、私は先ず 『円電流がｎ個集まったものがコイルだから・・・』 と考えました。よって
B（コイルの中心の磁場）=ｎ×B(円電流）＝? nμI/[2 a]
であろうと予測しました。 テキストにはB(コイルの中心の磁場）＝nμI とありました。 微妙に違う・・・・、何故だ（汗）。 a＝1/2？などと辻褄合わせに四苦八苦。いや、微妙に違うどころか次元が違うだろ（笑）。当時私には『次元解析』などという概念はありません。 テキストを良く見ると多分、「単位長さあたりｎ回まいたコイル」とか書いてあるんでしょう、つまり「コイルは長さがLで、これは円電流がN=n×L個並んだ物に相当する」のであって
B(コイルの中心の磁場）＝NμI ＝? ｎμI×（L/2a)
となって多少真実に近くなります。 しかしこの答えだとL→∞でB=∞となり、長いコイルを作れば磁場がどんどん強くなるというスーパー・ソレノイドの発明が可能なようです。 又はa→０でも良いでしょう、『超コンパクト・スーパー・ソレノイド完成！』という偉業を成し遂げたはずです。 これらの公式は当時の私には自然に思えたのでしょう、何の抵抗も感じませんでしたが、テキストの公式と違うのだからおかしいという事には気がついていました。 よってこの大発見は世に公表される事はありませんでした。
これは高校物理で「円電流がその中心に作る磁場」の次に出てきたトピックスだったと記憶しています。 当時の私の前提知識として、円電流がその中心に作る磁場
B（円電流） = μI/[2 a]
という公式がありました。 これは円電流の中心における磁場なのですが、ポイントは円電流の乗った平面から離れた位置では当然この式は成立しません。 当時私はその事を知りません。 とにかく、私は先ず 『円電流がｎ個集まったものがコイルだから・・・』 と考えました。よって
B（コイルの中心の磁場）=ｎ×B(円電流）＝? nμI/[2 a]
であろうと予測しました。 テキストにはB(コイルの中心の磁場）＝nμI とありました。 微妙に違う・・・・、何故だ（汗）。 a＝1/2？などと辻褄合わせに四苦八苦。いや、微妙に違うどころか次元が違うだろ（笑）。当時私には『次元解析』などという概念はありません。 テキストを良く見ると多分、「単位長さあたりｎ回まいたコイル」とか書いてあるんでしょう、つまり「コイルは長さがLで、これは円電流がN=n×L個並んだ物に相当する」のであって
B(コイルの中心の磁場）＝NμI ＝? ｎμI×（L/2a)
となって多少真実に近くなります。 しかしこの答えだとL→∞でB=∞となり、長いコイルを作れば磁場がどんどん強くなるというスーパー・ソレノイドの発明が可能なようです。 又はa→０でも良いでしょう、『超コンパクト・スーパー・ソレノイド完成！』という偉業を成し遂げたはずです。 これらの公式は当時の私には自然に思えたのでしょう、何の抵抗も感じませんでしたが、テキストの公式と違うのだからおかしいという事には気がついていました。 よってこの大発見は世に公表される事はありませんでした。
円電流の作る磁場
円電流の作る磁場を計算してみる。例のごとくベクトルポテンシャルAは
A(r)=μ/(4Π)∫dR j(R)/|R-r|
である。 円電流がｚ＝０のｘｙ平面に置かれているとする。
観測点： r1=x, r2=y,
電流の位置： R1=X, R2=Y
またr =√x2+y2+z2,
R =√X2+Y2として
R= R (cosφ, sinφ, 0)
j(R) = j (-sinφ, cosφ, 0) δ(R-a)
dR=dR1dR2 = R dR dφ
∫dR j(R)/|R-r|＝ a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]
となる。この積分が難しくてできそうにない。 ということで、計算の都合上何らかの簡単化を図らねばならないだろう。 そこで円電流の中心軸を通るｘ＝ｙ＝０の線上での磁場を求める。ｘ＝ｙ＝０と置きたいが、磁場はベクトル・ポテンシャルの微分だから、微分する前にｘ＝ｙ＝０などとはできない。
そこでベクトルポテンシャルからrotを取って磁場の式に直しておこう。それならばｘ＝ｙ＝０とおくことができる。
rotA = B(0,0,z) = μa j/[(4Π)*(a2+z2)3/2] ∫dφ (z cosφ, z sinφ, a)
積分を実行すると
B1 = B2 = 0 , B3=μja2/[2 (a2+z2)3/2]
が得られる。 磁場はｚ＝０で最大でその値はB3(0,0,0)= μ j/[2 a]。 また z>>aの状況を考えればB3(0,0,z)=μja2/[2 z3]のようにｚの３乗に反比例して減衰してゆく。
うーん、そうですか・・・・、３乗で減衰。 ニュートンの万有引力は２畳で減衰、電荷の作るクーロン電場も２乗で減衰。 でも磁場は（円電流の中心を通る軸にそって）３乗で減衰。 これは何か深いものがあるのだろうか。
A(r)=μ/(4Π)∫dR j(R)/|R-r|
である。 円電流がｚ＝０のｘｙ平面に置かれているとする。
観測点： r1=x, r2=y,
電流の位置： R1=X, R2=Y
またr =√x2+y2+z2,
R =√X2+Y2として
R= R (cosφ, sinφ, 0)
j(R) = j (-sinφ, cosφ, 0) δ(R-a)
dR=dR1dR2 = R dR dφ
∫dR j(R)/|R-r|＝ a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]
となる。この積分が難しくてできそうにない。 ということで、計算の都合上何らかの簡単化を図らねばならないだろう。 そこで円電流の中心軸を通るｘ＝ｙ＝０の線上での磁場を求める。ｘ＝ｙ＝０と置きたいが、磁場はベクトル・ポテンシャルの微分だから、微分する前にｘ＝ｙ＝０などとはできない。
そこでベクトルポテンシャルからrotを取って磁場の式に直しておこう。それならばｘ＝ｙ＝０とおくことができる。
rotA = B(0,0,z) = μa j/[(4Π)*(a2+z2)3/2] ∫dφ (z cosφ, z sinφ, a)
積分を実行すると
B1 = B2 = 0 , B3=μja2/[2 (a2+z2)3/2]
が得られる。 磁場はｚ＝０で最大でその値はB3(0,0,0)= μ j/[2 a]。 また z>>aの状況を考えればB3(0,0,z)=μja2/[2 z3]のようにｚの３乗に反比例して減衰してゆく。
うーん、そうですか・・・・、３乗で減衰。 ニュートンの万有引力は２畳で減衰、電荷の作るクーロン電場も２乗で減衰。 でも磁場は（円電流の中心を通る軸にそって）３乗で減衰。 これは何か深いものがあるのだろうか。
カシミール効果(第六回）
前回まで、二枚の板に働く力を求めるために、真空エネルギーを計算して、その距離依存性をみた。
意図的に触れずにきたが、なぜ2枚の板に挟まれた空間にだけ着目してきたのだろう。2枚の板の外側の空間にだってエネルギーが存在すると考えるべきではないだろうか？ 板の存在によって、外側に存在する波もｚ＝０，ｄにおいて節を持つべきである。 すると、板の外側の真空状態も、板が置かれる前とは異なる。その効果は？
また、「エネルギーは板が置かれる前の真空のエネルギーを基準にして測るべきだろう」という事を書いたが、この事に関して説明がなかった。 真空のエネルギーを基準にするのが自然だろうというのには頷けるが、腑に落ちない。
こんな事を考えていると、夜も眠れない状態が続く。これはカシミール効果の副作用であろう。
体によくない。 次回まで多少時間が空くだろうから、じっくり考えるのも良いだろう。その際副作用には気をつけたほうが良い。
意図的に触れずにきたが、なぜ2枚の板に挟まれた空間にだけ着目してきたのだろう。2枚の板の外側の空間にだってエネルギーが存在すると考えるべきではないだろうか？ 板の存在によって、外側に存在する波もｚ＝０，ｄにおいて節を持つべきである。 すると、板の外側の真空状態も、板が置かれる前とは異なる。その効果は？
また、「エネルギーは板が置かれる前の真空のエネルギーを基準にして測るべきだろう」という事を書いたが、この事に関して説明がなかった。 真空のエネルギーを基準にするのが自然だろうというのには頷けるが、腑に落ちない。
こんな事を考えていると、夜も眠れない状態が続く。これはカシミール効果の副作用であろう。
体によくない。 次回まで多少時間が空くだろうから、じっくり考えるのも良いだろう。その際副作用には気をつけたほうが良い。
カシミール効果（第5回）
カシミア・エネルギーの記事です、だらだらと進んでますが、第5回目になりました。
ブログ上で見やすく書こうと思うと、一つ一つの記事がどうも短くなってしまうのです。
前回は真空に置かれた2枚の導板によって電磁場のモードが特定の値に制限されるということを説明した。導板の存在によって、z=0,dの位置で波は節を持つべしという境界条件が課されるのであった。 しかし一方で、導板も原子レベルで見ればスカスカの物体、あまり細かい波長に関してはこのような境界条件は存在しない。 つまり板の存在によって影響を受けるのは波長の長い波だけである。 波長の長いモードに関して、そのエネルギーへの寄与を計算すると、エネルギーを距離ｄの関数として
E(d) = [hcd/(4π)] [ 1/a2 - π2/(12d2) + O(a2) ]
を得る。ここでaは大雑把に言って導板を構成するミクロな物質のサイズ。 波長がa程度以上のモードまでエネルギー和に入れたことになっているが、aをゼロに持っていく極限をとれば、全ての波長がエネルギーの和に入ってくるために発散する。
ブログ上で見やすく書こうと思うと、一つ一つの記事がどうも短くなってしまうのです。
前回は真空に置かれた2枚の導板によって電磁場のモードが特定の値に制限されるということを説明した。導板の存在によって、z=0,dの位置で波は節を持つべしという境界条件が課されるのであった。 しかし一方で、導板も原子レベルで見ればスカスカの物体、あまり細かい波長に関してはこのような境界条件は存在しない。 つまり板の存在によって影響を受けるのは波長の長い波だけである。 波長の長いモードに関して、そのエネルギーへの寄与を計算すると、エネルギーを距離ｄの関数として
E(d) = [hcd/(4π)] [ 1/a2 - π2/(12d2) + O(a2) ]
を得る。ここでaは大雑把に言って導板を構成するミクロな物質のサイズ。 波長がa程度以上のモードまでエネルギー和に入れたことになっているが、aをゼロに持っていく極限をとれば、全ての波長がエネルギーの和に入ってくるために発散する。
カシミール効果（第四回）
出発点は次のような真空エネルギーの表式である。
E =[hcd/(4π)] ∫dk k
これが1次元の場合のエネルギーであるが、実は積分領域が0≦ｋ≦∞なのでこの積分は定義されていない。つまりこの式はどのように計算したら良いのか不明である。 ところで、真空に2枚の導板をｚ＝０， ｄ に置いた場合は、0≦z≦d における波の式はsin(n(π/d)z)のようになるべきである。 何故なら板のある位置で波が節を持つ必要があるから。ここで波の持つ波数はk=nπ/dのように自然数n=1，2，3、・・・の飛び飛びの値をもつ。よってエネルギーの式も
E(d) = [hcd/(4π)] (π/d)Σn (π/d) n
とnでラベルされた波数の自由度を足すことになる。 しかし波がz=0, dで節を持つべきであるというのは理想であって、実際には板を構成する物質の原子サイズの波にとってみれば、板なんてスカスカの壁に見えることだろう。つまり短波長の波には板は何の境界条件も課すことができないと考えるのが自然だろう。 よって波数に関する足し合わせは
E(d) = [hcd/(4π)] (π/d)Σn (π/d) n e- a(π/d) n
とするべきである。 指数関数は原子サイズa[m] より細かい波が物理的なエネルギー寄与しないことを考慮する因子である。
E =[hcd/(4π)] ∫dk k
これが1次元の場合のエネルギーであるが、実は積分領域が0≦ｋ≦∞なのでこの積分は定義されていない。つまりこの式はどのように計算したら良いのか不明である。 ところで、真空に2枚の導板をｚ＝０， ｄ に置いた場合は、0≦z≦d における波の式はsin(n(π/d)z)のようになるべきである。 何故なら板のある位置で波が節を持つ必要があるから。ここで波の持つ波数はk=nπ/dのように自然数n=1，2，3、・・・の飛び飛びの値をもつ。よってエネルギーの式も
E(d) = [hcd/(4π)] (π/d)Σn (π/d) n
とnでラベルされた波数の自由度を足すことになる。 しかし波がz=0, dで節を持つべきであるというのは理想であって、実際には板を構成する物質の原子サイズの波にとってみれば、板なんてスカスカの壁に見えることだろう。つまり短波長の波には板は何の境界条件も課すことができないと考えるのが自然だろう。 よって波数に関する足し合わせは
E(d) = [hcd/(4π)] (π/d)Σn (π/d) n e- a(π/d) n
とするべきである。 指数関数は原子サイズa[m] より細かい波が物理的なエネルギー寄与しないことを考慮する因子である。
本棚の一冊 「美しき凶器」 東野圭吾著
なんとなく、読み終えてしまいました。
面白いんです、でも・・・・、東野圭吾の作品という観点で読んでしまうから、いけないんだろうな。
でも、最後の方はグッと迫ってくる感じです。 「でも」って書くと、なんか印象わるいですね。でもそんな事ないんですよ。 結構ググッときます。 「結構」というか、圭吾、ググッときます！
いつか、忘れてしまったときのために、感想を書き留めておくというくらいの記事です。 これから読もうかなと思っている方は、どうか参考にしないでください。 分厚く見えますが、あっさり読めます。 それって、どういう意味かな・・・。
面白いんです、でも・・・・、東野圭吾の作品という観点で読んでしまうから、いけないんだろうな。
でも、最後の方はグッと迫ってくる感じです。 「でも」って書くと、なんか印象わるいですね。でもそんな事ないんですよ。 結構ググッときます。 「結構」というか、圭吾、ググッときます！
いつか、忘れてしまったときのために、感想を書き留めておくというくらいの記事です。 これから読もうかなと思っている方は、どうか参考にしないでください。 分厚く見えますが、あっさり読めます。 それって、どういう意味かな・・・。
カシミール効果（第三回目）
カシミール効果は二枚の導体板に挟まれた真空のエネルギーを計算する事によって得られる。 二枚の導体板によって電磁場の振動モードは特別な値に制限される。 この取り扱いは丁寧に解説するとかなり長い記事となるだろう。 この記事では問題設定を単純化してカシミール効果の本質だけを抜き出すように心がけたい。記事を書くにあたって以前紹介したA.Zee著の「Quantum Field Theory in nutshell」を参考にした。
具体的な計算に入る前に、少し物理的な考察をしておこう。 結果の見えない計算をひたすら追ってゆくのはストレスである。 計算の前に次元解析から結果について言えることを調べておく。 ポイントを箇条書きすると
�，海慮�果は量子力学と電磁気学に基づいた計算である。よって量子力学的な効果を示すｈ [ML2/T] と、電磁場の速度、つまり光の速さｃ[L/T]が現れる。
��板に働く力はそれらの距離dの関数だろう。
�Ｆ麕腓糧弔貌�く力をその面積Sでわると圧力が得られる。それは力F[ML/T2]を面積 S[L2]で割った [M/(LT2)]という次元を持つ。
よって我々はh, c, a を使って圧力の次元[M/(LT2)]を作り出さなければならない。試行錯誤の結果
F/S 〜 hc/a4
を得るだろう。右辺の負号と比例定数を次元解析からは求まらない。 しかし具体的な計算からでてくる結果はこのような形をなるべきだと予想できる。 これだけの簡単な議論で答えの形が殆ど決まってしまうのは驚きである。 便利な方法なので、いろんな場面で是非使って欲しい。
具体的な計算に入る前に、少し物理的な考察をしておこう。 結果の見えない計算をひたすら追ってゆくのはストレスである。 計算の前に次元解析から結果について言えることを調べておく。 ポイントを箇条書きすると
�，海慮�果は量子力学と電磁気学に基づいた計算である。よって量子力学的な効果を示すｈ [ML2/T] と、電磁場の速度、つまり光の速さｃ[L/T]が現れる。
��板に働く力はそれらの距離dの関数だろう。
�Ｆ麕腓糧弔貌�く力をその面積Sでわると圧力が得られる。それは力F[ML/T2]を面積 S[L2]で割った [M/(LT2)]という次元を持つ。
よって我々はh, c, a を使って圧力の次元[M/(LT2)]を作り出さなければならない。試行錯誤の結果
F/S 〜 hc/a4
を得るだろう。右辺の負号と比例定数を次元解析からは求まらない。 しかし具体的な計算からでてくる結果はこのような形をなるべきだと予想できる。 これだけの簡単な議論で答えの形が殆ど決まってしまうのは驚きである。 便利な方法なので、いろんな場面で是非使って欲しい。
カシミール効果（第二回目）
真空中に置いた2枚の平行板（導体の板）。 通常何もないと考えられる真空だが、量子力学的な効果まで考えるとそういうわけにはいかない。 この平行板が真空の状態を乱すために何らかの作用が生まれるというのだ。 これは現在カシミール効果として知られ、そのタネは、平行板（導体）の存在によって電磁場の揺らぎが特定の波数に制限されてしまうことにある。波のモードに制限がつくために、純粋な真空とは、エネルギー状態が異なるわけである。エネルギーに違いが生じるならば、それによって平行板に力が働く。何故なら自然はエネルギーの低い状態を好むのだから（補足）。
