2017-04

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◆カテゴリー:物理数学
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テイラー展開の世界⑤

区間(0,∞)での次の積分を考えます。

F(n,a) = ∫dt tn/(et-a)

nとaは適当な数としておいて、後で好きな領域へ解析接続すれば良いと思いますので、特定はしません。
解析接続の方法に馴染みがない方は n=1, a = 1とか具体的な値を考えても良いでしょう。
積分をまじめにやる方法はあるかも知れませんが、ここではテイラー展開を使いましょう。

F(n,a) = ∫dt tn e-t Σk=0 ak e-kt

= Σk=0 ak ∫dt tn e-(1+k)t

k=0 ak Γ(1+n)/(1+k)1+n

= n!/a Σk=1 ak/k1+n

となってここまでです。ここまでという意味は、最後の和は一般にはこれ以上簡単化しないようでして、多重対数関数という特殊関数とされています。a=1の場合はこの和はゼーター関数として表現できるので

F(n,1)=n!ζ(1+n)

となります。偶数番目のζ関数はオイラーの有名な公式がありζ(2)=π2/6, ζ(4)=π4/90などが知られています。


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対称テンソルの独立な成分の数

d次元のn階完全対称テンソルT(i1,i2,...,in)は i1からinまでのn個の足を持ち、どの足を入れ換えても値が変わらないものです。i1,i2,...,inは1~dまでの整数です。

具体例d=3を考えましょう。例えば2階対称テンソルT(i,j)は

T(1,1),
T(2,1), T(2,2)
T(3,1),T(3,2),T(3,3)

という6個の独立な成分をもちます。T(1,2)=T(2,1)などは完全対称という条件から分かります。それではd=4なら


T(1,1),
T(2,1), T(2,2)
T(3,1),T(3,2),T(3,3)
T(4,1),T(4,2),T(4,3),T(4,4)

となります。この操作を繰り返してゆけば5次元、6次元での2階対称テンソルの独立成分の数も類推できます。
d次元の2階対称テンソルの独立な成分の数をN(2,d)とすると

N(2,d) = N(2,d-1) + d = N(2,d-2) + (d-1) + d =.... = d (d+1)/2

が成立しそうです。さて、それではd次元n階対称テンソルの独立成分はどうなるでしょうか。

N(n,d) = (n+d-1)!/n!/(d-1)!

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「可算 」 ― 数える

人間はあらゆるものを数えてきた。過ぎ去った日々を数え、「もういくつ寝るとお正月・・」の歌詞では元旦までの日数を数える。世の中には数えられないものがあるのだろうか? 宇宙、そうだ宇宙の年齢はどうだろう。もしも始まりがなければ、それを数えることはできないのではないだろうか。そんなことを考えていると、<数える>ことで大事な幾つかの性質が見えてくる。

(1)数え始めが存在すること

(2)数えてゆく方向性が決まっていること

(3)数え落としがないこと

通常物の個数などを数える時には、<数え始めの存在>も<数えてゆく方向性>も殆ど自明である。ミカンは

「一つ,二つ,・・・」

と一から数えて個数が増えてゆく方向へ数えてゆく。しかし悠久の年月を刻んできたと思われる月日を数える場合は(1)と(2)が重要でだろう。紀元前という年の数え方があるが、これはキリストの生まれた年を基準として(数え始めの存在)、時間を遡って年号を数える方法(数えてゆく方向性)である。平成は、平成天皇が誕生してから時間が経過する方向へ年月を数えてゆく。(3)の数え落としがないことは当然の要求だが、こういった細かいことまで気を配っておく方が良いだろう。ここで数えることに、数え終わる事が要求されていない。この点に関しては後で補足する。

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超関数の公式 (principal value)

超関数の公式, 

1/(x-iε) = p.v. 1/x + iπ δ(x) …(1)

に表れる超関数プリンシパル・バリューについて説明しておく。 読みづらいですが2項目のデルタ関数の前の係数は 「i (アイ)」 と 「π(パイ)」です。 p.v.というのはprincipal valueの略で、次のように定義されています。

(p.v.1/x) ≡ x/(x22) …(2)

ここではεは常に微少で、計算の最後にゼロに持ってゆくパラメーターとしておきます。 この定義を採用すると、積分区間が[-∞,∞]の積分に関して

∫ dx (p.v.1/x) f(x)  =limε→0[ ∫[-∞,-ε] dx f(x)/x +∫[ε,∞] dx f(x)/x ] …(3)

という公式が得られます。 こちらの方をp.v.1/xの定義にして(2)式を導くというのもありです。 そえでは、(2)と(3)の定義が等しいことを示してみます。 仮定としてf(x)は適当に性質の良い関数であるとします。具体的には必要な回数だけ微分可能であること、またx→±∞でゼロになることを要求します。

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フーリエ級数 2

離散フーリエ変換の解説ですが、連続的なフーリエ変換の近似として座標変数を離散的にする事で導入される事が多いと思います。 また数学的取り扱いが簡単だということで、離散的な場合を理解してからと連続フーリエ変換へと移行するというケースもあります。 その場合の対応関係は連続極限を考える事で得られます。 



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