アトムの物理ノート

難問その１の私なりの解答は書きましたが、餓僅さんのアイディアは統計的手法でこの問題が解けるかもしれないというもので面白いと思いました。また、「統計」と聞いて平均場近似を頭に浮かび、同時に平均場近似を使うときの注意と関係して以下のよう場合を考えてみると面白いかもと、多少問題を一般化してみました。


問題：積分I _n に関してn×I _nの　ｎ→∞　の極限を求めよ。

I _n　＝　∫dx₁∫dx₂....∫dx_n 1/[x₁^m + x₂^m + ..... + x_n^m]

ｍ＝整数　

つまり、難問その１の積分で分母の各ｘについての冪を一般化しただけです。ちょっと計算してみた結果m＝２は解けそうです。積分の収束性などの細かいところを詰めていないのですが、たぶん解けるでしょう。
もしｍ＝２ができたら、３や４でも同様にできそうです。ここでは任意の整数ｍと、ちょっと欲張ってみました。この問題が解ければ餓僅さんのアイディアについて多少理解深まるような気がします。

こんな問題、誰も注目しないと思っていましたが、 俄僅 さんが興味を示してくれました。数少ない読者を失うわけにはいきませんから、この要望は無視できません。ということで証明の最後の詰めを書きたいと思います。本題は次の極限を考えなさいというものでした。

lim_n→∞ｎ∫dx₁∫dx₂....∫dx_n 1/[x₁+x₂+.....+x_n]

(全てのｘは積分範囲 [0, 1]とします)　ところが前回の部分解答では、唐突に

lim_n→∞ n ∫_{[0, ∞]} dt [(1-e^-t)/t]ⁿ ＝ ２

を証明しました（かなり手抜きですが）。そこで、今回は、二つの積分の関係を付ければ問題が解けたということです。

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積分

I _n= ∫_0→∞dt [(1-e^-t)/t]ⁿ

とｎの積

lim_n→∞ n I _n

の極限を求めよ、という問題を考えてみます。

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以前出題した、連続するｎ個の整数はn!で割り切れることを証明せよという問題の解答です。色々と方法はあるでしょう。私の解答がスマートかどうかは知りません。正しい証明になっているとは思いますが、参考書で確認したわけではないので見落としが無いとも限りません。なにか問題があったら教えてください。

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[制限時間　20分]

「連続したｎ個の整数の積はn!で割り切れる」を数学的帰納法を使って証明せよ。

どこに数学的帰納法を適用するかが悩ましいところです。

記事を書くのをさぼってgraviness blogで出題された問題に夢中なっています。いやあ、よく色々と面白い式を出してきます。『ホントに何でこんな式思いつくんだよ！』と解けないイライラを愚痴に変えつつ暫し夢中になってしまいます。以下に私なりの証明を書きます。

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[制限時間:１秒]

科学クイズと呼べるのかどうか。真面目に計算すると怒られそうなクイズではあります。因みに地球の質量は６×1０²⁴[kg]です。

数独、またはナンバープレイスと呼ばれるパズルをやってみた。
ルールは簡単で、それでいてなかなか面白い。時間に余裕のある人は是非挑戦してみるとよい。
(1)枠の中に１〜９の数字を入れる
(2)一つの縦、横の列に同じ数字は入らない。
(3)太線の３×３の枠内に同じ数字は入らない。



初級者レベルの数独問題。完成までに５〜１５分程度かかるだろうか。ネットにはこの手の問題があふれている。

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