2017-09

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◆カテゴリー:頭脳体操
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数学パズル美女か野獣か? 壷に入ったワイン

壷に入ったワインの値段は10ドル。
ワインは壷より9ドル高い値打ちがある。
つぼの値段はいくらか?


*危うくひっかかるところでした
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どうなるゴキブリのヒント

問題を動画にしてみました。 

goki1.gif


多少イメージは沸くでしょうか。 赤い線が、ゴキブリの速度ベクトルです。(つまり速度の方向と、その長さが速さになるように描いてあります。) しかし、この動画のように見るとなかなか答えにたどり着けないのではないかと思います。ヒントは「この運動の中に円を描く」です。 更にヒントが見たい方のみ続きへどうぞ。

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どうなる? ゴキブリ

[制限時間20分] 
久しぶりに面白い問題をみつけたので頭の体操として掲載します。先日友人から出題されたもので、私自身 「ほう、ほう」と唸ってしまったのでした。 なかなか面白問題です。

問題: 今ゴキブリA,B,C,Dの4匹が一辺の長さが1mの正方形の部屋の四隅にいます(図を参照)。時刻t=0でそれぞれが速さv [m/s] で動き始めます。 Aのゴキブリは目線で常にBのゴキブリを追って動きます。BのゴキブリはDのゴキブリ、DはCを、そしてCはAのゴキブリをというように、それぞれが相手のゴキブリを目線で追い、そして自分もまた一匹のゴキブリから目線で追っかけられていきます。 ゴキブリの動く早さは常に一定で、目線で追ってゆく相手の位置に寄って方角だけが変わるものとします。

さてゴキブリたち最終的に相手を捕まえる事ができるでしょうか?捕まえられるとしたらその時刻は?

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難問その1 の発展

難問その1の私なりの解答は書きましたが、餓僅さんのアイディアは統計的手法でこの問題が解けるかもしれないというもので面白いと思いました。また、「統計」と聞いて平均場近似を頭に浮かび、同時に平均場近似を使うときの注意と関係して以下のよう場合を考えてみると面白いかもと、多少問題を一般化してみました。


問題:積分I n に関してn×I nの n→∞ の極限を求めよ。

I n = ∫dx1∫dx2....∫dxn 1/[x1m + x2m + ..... + xnm]

m=整数 

つまり、難問その1の積分で分母の各xについての冪を一般化しただけです。ちょっと計算してみた結果m=2は解けそうです。積分の収束性などの細かいところを詰めていないのですが、たぶん解けるでしょう。
もしm=2ができたら、3や4でも同様にできそうです。ここでは任意の整数mと、ちょっと欲張ってみました。この問題が解ければ餓僅さんのアイディアについて多少理解深まるような気がします。

難問その1 の部分解答の続き

こんな問題、誰も注目しないと思っていましたが、 俄僅 さんが興味を示してくれました。数少ない読者を失うわけにはいきませんから、この要望は無視できません。ということで証明の最後の詰めを書きたいと思います。本題は次の極限を考えなさいというものでした。

limn→∞n∫dx1∫dx2....∫dxn 1/[x1+x2+.....+xn]

(全てのxは積分範囲 [0, 1]とします) ところが前回の部分解答では、唐突に

limn→∞ n ∫[0, ∞] dt [(1-e-t)/t]n = 2

を証明しました(かなり手抜きですが)。そこで、今回は、二つの積分の関係を付ければ問題が解けたということです。

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アトム 

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趣味   近所散策と物理

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