2017-07

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◆カテゴリー:科学クイズ
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ダムの水位と流量

ダムの水位と流量の関係についての問題をもらったので、忘れる前に掲載しておきます。
(図を後でつけないといけませんね)

ダムの流量 I とダムの上流で図った水位Hとの関係について、水位を2倍にしたら流量は何倍になるでしょうという問題です。 正解は知りませんし細かい問題設定もまだ分かりません。 とりあえず自分でいろいろと細かな設定を追加して答えを出さなければならないようです。

一寸やってみたんですが、線形問題ではないので、2倍とか簡単にいってはいけません。
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有料道路問題

[制限時間なし] 

久しぶりに科学クイズを出題したいと思います。クイズというよりは数学問題かもしれません。暇な人は問題をいろいろといじって遊んでください。

kagakuquizharmonicoscilator


図のような山を点と点をつなぐ径路にそって右の方へ移動していきます。左方向への戻りは出来ません。(iは歩幅でnは高度だと思ってください)。高度kの地点からの次の移動方法は

(1)登り (i,k)→(i+1,k+1) 道路税 ¥1/(√(k+1))
(2)平行移動 (i,k)→(i+2,k) 道路税 ¥(-1/k)
(3)下り (i,k)→(i+1,k-1) 道路税 ¥(√k)/(k-1)

となっています。平行移動は二歩進まなければならない事に注意してください。

Q1. (1,1)から出発して(i,k)にたどり着く径路毎の料金をi=1,2,3の場合に具体的に求めよ。

Q2.(1,1)から出発して(i,k)にたどり着く可能な径路の全てを考えた場合の平均の料金をもとめよ。

Q3.平均の料金に関する一般式を考えよ。

Q19の解答2

科学クイズの19問目は以下のnについての和

A(k) = Σn=1~∞ 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)....(n+k)] = Σn=1~∞ (n-1)!/(n+k)!


をどうやるかという事でした。前回一つの解法を記事にしました。今日は別法を書きたいと思います。この問題に限ればエレガントさという面で以前の解法が優れています。しかし解析学の面からみれば以下の方法の方が面白いのではないかと思います。少しばかり知識を必要としますがじっくり計算をおえば難しくないでしょう。

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Q19の解答

科学クイズQ19の解き方(その1)です。問題を読んでない方はそちらからどうぞ。それにしても科学クイズの割には近頃数学の問題が多くなっていますね。数学も科学ということで勘弁してください。

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Q19 級数和に関する問題

世の中には面白い級数和が色々あります。例えばΣn=11/n2 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・・ = π2/6 などは非常に綺麗な公式でしょう。自然数の逆冪二乗和を取ると超越数であるπの二乗と関係がつくという不思議があります。こういった級数の計算に抜群なセンスを発揮し次々と素晴らしい公式を作り上げていったのは18世紀の天才数学者レオンハルト・オイラーです。天才の仕事というのは高度に抽象的なものが多いためアマチュア数学者などには理解し難い面がありますが、オイラーの級数和に関する限り私達にも彼の天才的なヒラメキの一端を垣間見ることが出来るものだと思います。オイラーが求めた級数として

Σn=1 1/n = ∞

Σn=1 1/n2 = π2/6

Σn=1 1/n3 ≡ ζ(3)

Σn=1 1/n4 = π4/90

などは良くお目にかかります。(逆奇数冪和はπなどを使って表せない数であると思われていてζ(3)などと書きます。)

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