2017-09

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◆カテゴリー:波動力学
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Sine-Gordon方程式 3

前回はキンクや反キンク解として知られている解析解を求めました。 今回は同じことを数値的にやってみます。 数値解法の説明は後回しで先ずは図を見てもらおうと思います。 キンク解と反キンク解は前回やっているので特に驚きではないでしょう。 最後の図はそれらを合わせたような、キンク・反キンク解が存在する事を数値解析で示しています。(サイン・ゴルドン方程式に関してはこの解析解も知られています)

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Sine-Gordon方程式 2

さてこの記事の主役であるサイン・ゴルドン方程式はというと

□φ+sin(φ)=0                   (□=∂t2-∂x2)


という至ってシンプルな、しかし非線形な微分方程式である。 sin(φ)の項がなければ、この式は相対論的な波の方程式として有名なKlein-Gordon方程式と呼ばれるものである。 するとSine-Gordon方程式というはちょっとしたユーモアであろうか。 この波動方程式は□がローレンツ変換に対してに普遍な形をしているので相対論的な方程式となっている。 よってこの方程式を解いて得られる結果は相対論的に普遍な形をしているであろう。 これは理解の助けにはなるが、相対論的な形式がSine-Gordon方程式の非線形解になにか重要な役割を果たしているわけではなさそうである。

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Sine-Gordon方程式 1

波動現象は身の周りに観察できる物理として非常に面白い。 一方で我々が何気なく見ている波の運動でもその物理的な説明を与えるのは簡単ではない。 その理由として、自然界に存在する波動現象の多くは複雑な運動方程式が支配しているからではないかと、私は思う。 例えば現実的な波を考えると非線形な効果や摩擦項が入った運動方程式を取り扱うのが自然であろう。 これはかなり複雑であることは容易に想像できる。 また波動方程式の解法が数学的に面倒だということもあるかもしれない。

物理の歴史に疎い私が思う事は、このような複雑さのためにコンピューターが普及する以前は波動現象の研究はなかなか進まなかったのではないかということ、また最近ではコンピューターを使ったシュミレーションが簡単にできるので、こういった分野でも何か大きな発展があったのではないかと興味深々である。
実際のところどうなんでしょう、なにか大きな発見があったんでしょうか? 専門家の方がいたら教えて欲しいですね。

さて、雑感はこのくらいにして、今回はサイン・ゴルドン方程式を調べてみようと思う。 一次元のモデルだと簡単なので、解析解も比較的容易に得られる。 驚く事にサイン・ゴルドン方程式の解として安定なキンク解や反キンク解が存在し、それらを合わせたようなキンク-反キンク解も得られている。
簡単なモデルとはいえ、非線形な項を含む波動方程式に安定解が存在し、それらが互いに自由波のように振舞うことは興味深い。 
またサイン・ゴルドン方程式は数値的にも簡単に解け、モデルをいじって遊ぶのにも最適である(一方で多重キンク解を得る方法は数学的に難解で私は理解していない)。 これからサイン・ゴルドン方程式の数値解析をテーマに進めていこうと思う。

光について 3

前回は反射の法則について光が波である事を使って説明しました。これでユークリド以来の疑問 

『なぜ反射の法則が成立するのか?』

に一応の解釈が与えられたことになります。ただし散乱面の長さが光の波長程度に短くなると反射の法則からのずれが見えてくることも分りました。光の波長が十分短いと考えられる時の光の性質は幾何光学と呼ばれる分野です。

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光について 2

光の反射の法則『光の反射において入射角と散乱角は等しい」を詳しく説明したいと思います。前回多少ふれたように光は電磁波でありその性質は全てMaxwellの電磁気学の4つの基本法則から導かれなければなりません。実際それは可能で標準的な電磁気学の本を紐解けばその詳細を知る事が可能です。しかしここでは全てを基本法則から導出するという手間を惜しんで光が波(電磁波)である事は認めたうえでMaxwell理論では反射の法則がどの様に説明されるかをみてみます。 

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