2017-04

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◆カテゴリー:電磁気学
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円電流の作る磁場(補足)

「円電流が作る磁場」の記事において、A(r)を計算する際に次のような積分が現われました。

∫dR j(R)/|R-r|=a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]

ここでR= (cosφ, sinφ,0) は電流の流れに対する位置ベクトル、そしてrはベクトルポテンシャルの位置ベクトルです。また電流は、z=0の平面上、原点の周り半径 a=|R|の円上に流れているとします。 前回この積分は難しいので、ゲージポテンシャルの位置ベクトルrに対して半径aの円の中心を通る軸上に限定して計算を進めました。 

今回はベクトルポテンシャルの位置が円電流のサイズaに比べて遠くに離れているという仮定の下にもう少し全体的な磁場の様相を調べたいと思います。 つまり r >> a という近似をする事によってベクトルポテンシャルA(r)を求めようという試みです。

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コイルの作る磁場

私にとって非常に思い出深い問題、コイルの作る磁場について考えたいと思います。
これは高校物理で「円電流がその中心に作る磁場」の次に出てきたトピックスだったと記憶しています。 当時の私の前提知識として、円電流がその中心に作る磁場

B(円電流) = μI/[2 a]

という公式がありました。 

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円電流の作る磁場

円電流の作る磁場を計算してみる。例のごとくベクトルポテンシャルAは

A(r)=μ/(4Π)∫dR j(R)/|R-r|

である。 円電流がz=0のxy平面に置かれているとする。 
観測点: r1=x, r2=y,
電流の位置: R1=X, R2=Y, またr =√x2+y2+z2, R =√X2+Y2として

R= R (cosφ, sinφ, 0)
j(R) = j (-sinφ, cosφ, 0) δ(R-a)
dR=dR1dR2 = R dR dφ

∫dR j(R)/|R-r|= a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]

となる。

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直線電流の周りの磁場

直線の周りにできる磁場を計算する。 ビオ・サバールの法則を使って計算する方法はよく目にするので、ここではベクトル・ポテンシャルを使った方法で計算してみよう。 公式は

A(r) =(μ0/(4π))∫dR j(R) /|r -R |

である。 考えているのは 点r=(x,y,z)におけるベクトルポテンシャルA(r)であるが、それはR=(Rx, R, Rz)にある電流によって作られる。

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チェレンコフ光

チェレンコフ光はロシア人科学者、チェレンコフによって発見された現象。媒質中を電荷を持った粒子が媒質中の光速Cnより速い速度で移動するときに発する円錐状に広がる光。媒質中の光速を0.5に固定して、チェレンコフ光をアニメーションにしてみた。以下、媒質中を移動する電子の速さをveとする。

ve=0.4(チェレンコフ光なし)

chere2.gif


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アトム 

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趣味   近所散策と物理

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