2017-11

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◆カテゴリー:量子力学
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半減期 その2

前回半減期の公式を導いた。重要なので再度公式を書く。
1秒間に壊れる確率がqである原子の半減期Tは

T = log(1/2)/log(1-q)

となる。半減期の意味は、原子が元の半分の個数に減るまでの時間
であった。

ところで半減期の公式は確率の式であって,実際にいつも
T秒だけ時間たてば原子が元の半分の個数になっているとは限らない。
例えば100個あった原子の数は下のグラフのように時間と共に減って
ゆく。勿論これもたまたまであって,いつも同じグラフになるとは
限らない。一例である。(これは乱数を振ってつくったグラフ)
decay_life_time1.jpg
グラフが滑らかな線ではなくカクカク折れ線のようになっている。
1%の確率で壊れるとはいっても、たまたま壊れる時もあれば、
予想に反して数秒立っても一個も壊れない事だってある。
これが確率的であるという意味である。

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半減期 その1

10×10=100個のマスメに不安定な原子をおいて崩壊の様子を観察しよう。
下のアニメーションはマスメに置かれた原子(黒い点)が次々と壊れて減っ
てゆく様子を表している。

decay_life_time_02.gif


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スピンの合成1

クレプシュ・ゴルダン分解のもっとも簡単な例としてスピン1/2の系の合成について書く。多少数学めいた話題ではあるが、説明には物理的な描像を使った方が簡単なので、物理と数学の適当な混ぜ合わせのような話になってしまう。これを最初に学んだ頃は、全く理解不能な抽象的な数学の話題かと思われたが、理解できなくてもフォン・ノイマン発行の免罪符:「物理は物理学者には難しすぎる」があったので安心だった。その後、数冊の本を読み、また長い時間をかけて少しずつ理解が進んできたのだが、分かってしまうとフォン・ノイマンの免罪符をこんなところで使うのは勿体ない。一般論は面倒であっても、クレプシュ・ゴルダン分解の本質を理解するのは案外簡単なのである。纏めると、クレプシュ・ゴルダン分解とは「テンソル積の表現を群の既約表現へ分解する」ことである。 具体例を計算しながら説明していこう。



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光学定理 2  - 連続の方程式 -

散乱問題で基礎的なことは、「確率は保存する」または「粒子の数は保存する」ということである。今回は確率密度と連続の方程式について復習しておこう。

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光学定理

分かってしまうと当たり前だということは多くあります。「光学定理」と呼ばれる大変重要な定理はそういったものの一つです。 この定理は量子力学の散乱問題で現れますが、なぜか「光学」に関する定理を連想させる名前で呼ばれています。 もともと光学で発見された定理で、波動一般に成立するということで「光学定理」だそうです。 (光学定理の説明(英語))

光学定理を含め、あまりにも当たり前の定理ってのは数式で書かないと何の有難味もないというのが普通です。 すごく大事なんですが、結構使えたりするんですが、言葉だけで説明すると「それで?」という感じになります。 導出は数式をガリガリ計算してゆく必要があるため説明をひかえます。
どのくらい当り前かを理解してもらうために敢えて数式なしで説明すると次のようになります。

「原点に物質をおいてビームを照射します。ビームが物質によってどのくらい散乱されたかを知るためには、(ビームからみて)物質の後方でビーム強度の減り具合を確認すれば良い。 減った分が物質にぶつかって散乱した量である。」

少し長いですが、それは問題設定から説明したからです。つまりは、照射ビームの強度は物質に散乱された分だけ減るというだけの話です。だからこんなことを言葉にしても有難味はゼロです。数式で書いて初めてその有用性がでてくるというものでしょう。 それは

σ = 4π/k Im[ f(0) ]

と書かれます。 kって何? f(0)って何? ということを説明しなければなりません。 そもそもこんな数式が何故上のように解釈されるのかを理解する必要があります。 これでは、全然当たり前ではありません。多少説明に時間がかかるので、今回はこれで終わりにします。

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アトム 

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趣味   近所散策と物理

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