2017-05

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◆カテゴリー:相対性理論
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膨張宇宙でのドップラー効果3

なんだかいつも記事を書き始めると予想よりもながくなります。
あまり気合いを入れすぎると構想を練るのに疲れて、結局書かずに
終わるという事もたびたび。既にこのネタで二つも記事を書いたので
そろそろ店じまいをしなければなりません。

さて、宇宙膨張による波長の伸びの本質はドップラー効果のなのですが、
数式を使って理解してみましょう。




      cdt = -a(t) dr          
          


この式を積分すれば光の軌跡が分かります。それには dr = -c/a(t) dtとして、
両辺で積分記号をつければよいのですが、結果は

∫dr = -∫ c/a(t) dt

となります。左辺の積分の範囲は光の放射される位置r0(t0)から,観測位置r(t)=0,
右辺では放射時刻のt0から観測時刻のtまでとなります。

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膨張宇宙でのドップラー効果2

「膨張宇宙のドップラー効果1」の続きです。

前回、相対論的な2点間の距離ds2まできました。それは





       ds2=(cdt)2 - a(t)2 dr2        


という式で与えられました。この式の名前に距離という言葉が使われて
いますが、それは通常使われる意味での距離と同じような性質をもつか
らなんですが、一方で全く異なる性質も持っていますから、あまり名前
に拘ると理解が先に進まないかもしれません。

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膨張宇宙でのドップラー効果1

我々の宇宙は膨張しているらしいです。なぜそんなことが分かるんでしょうか。
膨張していることを確認するために誰か宇宙の果てまで行って、
「嗚呼、確かに宇宙は広がっている!」
とその目で確認してきたのでしょうか。いえいえそうではありません。
宇宙の果てへなんて行くことはできません。それじゃ、なぜ分かったんですか?
うーん、不思議ですね。それは光のドップラー効果を観測することによって
分かったのでした。光は音に良く似た性質をもっています。音のドップラー
効果を使って説明してみましょう。

宇宙のあらゆる方向から聞こえてくる音楽を聴いてみましょう。
例として、全ての銀河からベートーベンの第九が聞こえてくるとしましょう。
ベートーベンは宇宙で愛される名曲なのです。あれ、でもちょっと変ですよ。
あの10音年(音が届くのに10年かかる距離)離れた銀河から
聞こえてくるベートーベンは音程が狂っています。我々が知っている
第九よりも低音なのです。まあレコード(CD?)が壊れていたのでしょうか。
あれ、もっと遠くの星、20音年離れた銀河からはもっと低音へずれた
第九が聞こえてきます。遠くの銀河から届く第九ほど低音へのズレが大きい。
これが系統的に起こっているとすれば、それは単なる偶然ではありません。
なにか理由があるはずです。

遠くへ離れた銀河から届く第九ほど低音へずれるという観測事実を説明する
ための理論はあるのでしょうか?。頭を悩ませていると、誰かが閃くのです。
これは音のドップラー効果! 遠くの銀河ほど高速で我々から遠ざかっている。
だから遠くの銀河ほど音程が低音へずれているんだと。 一つの仮説です。
(ドップラー効果:遠ざかってゆくサイレンの音は低音へずれて、
近づいてくるサイレンは高温へずれること)

さらに、我々の銀河だけが特別ではないとしたら、他の銀河から我々の銀河
を観測すれば同じ事が起こっているでしょう。つまり、我々の銀河も他の
銀河から見れば遠ざかっている。すると、全ての銀河がお互いに遠ざかって
いると考える方が自然だという結論に達します。

そしてアインシュタインの作った相対性理論はまさに我々の宇宙が広がって
いるという事を重力の理論として説明するのです。宇宙空間が広がっている
わけです。で、その空間に分布している銀河も空間と一緒に広がる、これが
相対性理論が説明する宇宙の膨張なのです。
銀河は遠くへいけば行くほど高速で遠ざかっているという実験事実(ドップラ
ー効果による説明が正しいとしての話ですが)、そしてそれを自然に説明する
アインシュタインの重力理論。この二つががっちりと結びつき、現在「宇宙
は膨張している」という考えが一般的になっています。




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光のドップラー効果

前回、運動によって光や音の波長が変わって見えるというドップラー効果について、
そのアイディアを(読者まかせな内容でしたが)説明しました。
今回は光のドップラー効果を、数式を使って導出してみます。直感的に納得できたなら
つぎは数式を使った導出でしょう。以下特殊相対性理論の知識を使いますから、一般受け
はしない記事となっております。

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どっぷら~効果

どっぷら~効果ってなに? 

どっぷら~? どんぶり? てんぷら? 全然違うし。
ご飯のときにそういうマノビした用語つかわないでくれよ。

「お風呂につかるときに、ほら、どっぷり浸かるっていう言い方するでしょ。
あれです、あれ、だからご飯食べよう。」

え~、ちゃんと答えてよ!

ちゃんと答えるっていっても、突然そういう質問されてもなあ・・・。
こっちにも心の準備というものがひつようなのだよ。
そういう事習ったのは大分前だし。
大体突然聞かれてもうまく説明できない.....
妻の顔をみると、食いついた獲物は離さないというスッポンに見えてきた。

ほら、救急車がくるとき音が間延びするでしょ。間延びするはずがないと
思われていたところにマノビする事。
だから「どっぷら~効果」

........ 沈黙.......


え、だって、マノビする事もあるけどその逆、えーとつまり、ほら、
「ビィーボォー、ビィーポォー(音程を高くしているつもり)」
って感じもあるじゃない。

ははん、つまり救急車が近づいてくるときと、遠ざかってゆくときで
音程が変わるってことは経験しているわけだな。でも、なぜそうなる
のかは分かっていない。つまり、見たり聞いたりしたことで不思議だな
と思う事はあっても、なぜだろうと頭を抱えることはなかったわけだ。
で、最近読んだ啓蒙書で、急に「なぜだろう」と考える癖がついて
きたということか。

「それじゃ今度よい説明を考えておくから。」

そういって、暫く放っておいたのだが、そろそろ説明しなければなるまい。
鉄は熱いうちに叩けという諺もあるくらいだ。叩いておくか。
質問されてから既に数ヶ月経つのだが。

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趣味   近所散策と物理

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