論理と直感のはざまで ８
第８夜
そろそろ、関数の連続性については掘り下げてゆこう。 関数とは、ある値が与えられたとき、それに対応した値を一つ返すようなもの。 これを数学では写像という。大事なのは、一つの値に対して答えも一つ。 小学校(?)で習う ｙ＝ｘ や y=x2はそういった関数の例であり、ｘに何らかの値を入れると、それに伴いyの値がきまる（一対一対応）。
それ故、関数をグラフに描いて視覚化することが可能である。 関数をグラフに描くという事、それは原始的な作業だが数学的なセンスや直感を養うという面では最高の学習方法であろう。 しかし、そこで培った素朴なセンスは、高等数学へいったときに打ち壊されてしまう。
そろそろ、関数の連続性については掘り下げてゆこう。 関数とは、ある値が与えられたとき、それに対応した値を一つ返すようなもの。 これを数学では写像という。大事なのは、一つの値に対して答えも一つ。 小学校(?)で習う ｙ＝ｘ や y=x2はそういった関数の例であり、ｘに何らかの値を入れると、それに伴いyの値がきまる（一対一対応）。
それ故、関数をグラフに描いて視覚化することが可能である。 関数をグラフに描くという事、それは原始的な作業だが数学的なセンスや直感を養うという面では最高の学習方法であろう。 しかし、そこで培った素朴なセンスは、高等数学へいったときに打ち壊されてしまう。
直感と論理のはざまで ７
関数の極限について多少触れたが、そもそもε−δ論法が力を発揮するのは、我々の想像を超えた関数の連続性や微分可能性について知りたいときだろう。 関数をグラフに描くことができれば、大体それらが連続か不連続なのかは既に分かるだろう。 しかしグラフに描けない関数の場合、連続，不連続の判断をどうすれば良いのだろうか。 それには直感に頼らない数式による連続性の定義が必要になる。 当にε−δの出番だ。
直感と論理のはざまで ６
証明を具体的に考えてなかったが、 俄僅 さんの書き込みをみて記事にまとめました。
大体において 俄僅 さんの証明と同じですが、多少短く書く工夫をしました。 間違いなどありましたらまた、連絡下さい。
大体において 俄僅 さんの証明と同じですが、多少短く書く工夫をしました。 間違いなどありましたらまた、連絡下さい。
直感と論理のはざまで ５
コメント欄に数式を書き込むのは面倒なので記事としてアップします。
証明したいのは
limn→∞ an = a (≠0)
のときに、
limn→∞ 1/an =1/a
を示す事。勿論ε−δ論法を使っての証明です。
証明したいのは
limn→∞ an = a (≠0)
のときに、
limn→∞ 1/an =1/a
を示す事。勿論ε−δ論法を使っての証明です。
