補間法 ４
前回ラグランジェのデルタ関数を導入した。その定義は
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)
である。 ｊについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちｘiがA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。
(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。
（２）ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)＝１
Δ(xk - xi)＝０ （ｋ≠i）
何故ハミルトニアンはエルミートか
掲示板などで対話をしているとタイトルのような質問をたまに受ける。
確かに《ハミルトニアンはエルミートである》必要はないかもしれない。 というのもハミルトニアンのエルミート性は、エネルギー固有値が実数になるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。 という事は、ハミルトニアンがエルミートでなくそれでいてエネルギー固有値が実数になるような例はあるのだろうか。 ちょっと直ぐには思いつかないがきっとあるに違いない。（簡単に作れそうな気がするんだなあ。でも時間もないしあまり興味もないから手が動かない） という事で今のところ私の答えは、エルミートだと面倒な事しなくてもエネルギー固有値が実数になるから良いじゃないくらいの理解である。
雑談ついでに、そもそもエネルギーが実数でないといけない理由は有るのだろうか？
これに対する答え（の一つ）として有名なのはガモフのアフファー崩壊理論にみるような複素数のエネルギー固有値をもつ系だろうか。 エネルギー固有値が虚数でも特に問題ないのだ。 それどころか、エネルギーが虚数になると粒子の崩壊が扱えるというメリットがある。つまりエネルギーの実数部が通常のエネルギーに対応しており、虚数部は粒子の寿命を与えるのである。
「そんな適当な事をいって量子力学の《原理》を変更するなんて邪道だ！」
という声が聞こえてきそうだが、有益な拡張は柔軟に受け入れていこうという姿勢が大事である。 とはいっても、こういう自由な発想ができるのはやはりガモフが天才だからであろう。 既存の理論のどこが本質で、どこに変更の余地があるのかという事が分かっていたのである。 そもそも自然界には崩壊する物質が多くあるのだか、量子力学はそういった現象も柔軟に扱えるだけの懐の深さを持っていたともいえるのだろうか。
こんな事を考えていたら、運動量が虚数という話は聞いた事がない。 エネルギーが虚数でありえるなら運動量にもその権限は残されているであろう。 すると解釈はどうなる？ エネルギーの虚数部が粒子の寿命に対応したように、運動量の虚数部は粒子の空間的な広がりに対応するのだろうか？
これは波動関数が広がるということではなく、粒子自身がのっぺりと広がった構造を持つ事に対応するような気がする。 いやいや、ちょっとイメージがわかない・・・・・・・ しかし面白そうだ。
確かに《ハミルトニアンはエルミートである》必要はないかもしれない。 というのもハミルトニアンのエルミート性は、エネルギー固有値が実数になるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。 という事は、ハミルトニアンがエルミートでなくそれでいてエネルギー固有値が実数になるような例はあるのだろうか。 ちょっと直ぐには思いつかないがきっとあるに違いない。（簡単に作れそうな気がするんだなあ。でも時間もないしあまり興味もないから手が動かない） という事で今のところ私の答えは、エルミートだと面倒な事しなくてもエネルギー固有値が実数になるから良いじゃないくらいの理解である。
雑談ついでに、そもそもエネルギーが実数でないといけない理由は有るのだろうか？
これに対する答え（の一つ）として有名なのはガモフのアフファー崩壊理論にみるような複素数のエネルギー固有値をもつ系だろうか。 エネルギー固有値が虚数でも特に問題ないのだ。 それどころか、エネルギーが虚数になると粒子の崩壊が扱えるというメリットがある。つまりエネルギーの実数部が通常のエネルギーに対応しており、虚数部は粒子の寿命を与えるのである。
「そんな適当な事をいって量子力学の《原理》を変更するなんて邪道だ！」
という声が聞こえてきそうだが、有益な拡張は柔軟に受け入れていこうという姿勢が大事である。 とはいっても、こういう自由な発想ができるのはやはりガモフが天才だからであろう。 既存の理論のどこが本質で、どこに変更の余地があるのかという事が分かっていたのである。 そもそも自然界には崩壊する物質が多くあるのだか、量子力学はそういった現象も柔軟に扱えるだけの懐の深さを持っていたともいえるのだろうか。
こんな事を考えていたら、運動量が虚数という話は聞いた事がない。 エネルギーが虚数でありえるなら運動量にもその権限は残されているであろう。 すると解釈はどうなる？ エネルギーの虚数部が粒子の寿命に対応したように、運動量の虚数部は粒子の空間的な広がりに対応するのだろうか？
これは波動関数が広がるということではなく、粒子自身がのっぺりと広がった構造を持つ事に対応するような気がする。 いやいや、ちょっとイメージがわかない・・・・・・・ しかし面白そうだ。
父
私の父は働きものであった。 今でも健在であるが昔ほどガムシャラではなくなったようだ。
人生のゆとりが出てきたのであろうか。 そろそろ人生のゴールも近いかなと思えるところまできて
のんびりと行ってもいいだろうと思えてきたのだろうか。
あの頃は仕事仕事と忙しくしている父の姿を憎んでさえいた。
そしてどうだろう、あれから３０年の年月を経て自分を見つめ直す。
自然と胸が熱くなってくるのはどうしてだろう・・・・・
「そうか、あの頃の父は独りで戦っていたんだ、家族のために。」
あの頃父が犠牲にしてきたもののお陰で今の私はある。
子供に理解されなくても、ひたすら汗を流していたあの父の努力のお陰で。
「いつかは分かるよ」と笑って汗を流していたあの夏。
確かにそうであった。
今度田舎に帰るときには美味しい酒でも持って帰るか。
人生のゆとりが出てきたのであろうか。 そろそろ人生のゴールも近いかなと思えるところまできて
のんびりと行ってもいいだろうと思えてきたのだろうか。
あの頃は仕事仕事と忙しくしている父の姿を憎んでさえいた。
そしてどうだろう、あれから３０年の年月を経て自分を見つめ直す。
自然と胸が熱くなってくるのはどうしてだろう・・・・・
「そうか、あの頃の父は独りで戦っていたんだ、家族のために。」
あの頃父が犠牲にしてきたもののお陰で今の私はある。
子供に理解されなくても、ひたすら汗を流していたあの父の努力のお陰で。
「いつかは分かるよ」と笑って汗を流していたあの夏。
確かにそうであった。
今度田舎に帰るときには美味しい酒でも持って帰るか。
補間法 ３
前回の記事を引き継ぎ、いよいよラグランジェの補間について説明を始める。その基本となるのがラグランジェのデルタ ΔA(x,xi）で、クロネッカーのデルタを拡張したような関数なのである。 申し訳ないが、この「ラグランジェのデルタ関数」、私が勝手にそう呼んでいるだけであって、一般的な名前ではないのでこのブログ以外では通用しないということを覚えていてほしい。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
さてラグランジェのデルタ関数、ΔA(x,xi)だが、これはｘの関数で、二つ目の変数として入っている xiは集合Aの要素である。 例えば A＝{1,2,3}でxiとしては１，２，３の三通りのデルタ関数が作られる。 ここではｘは実数のみを扱いAは実数の有限集合としておく。さてラグランジェのデルタ関数の持つ性質として
ΔA(xi , xi) ＝ 1
ΔA(xi , xj) ＝ ０ （i≠ｊ）
がある。このような関数は幾通りも作れるのだが、ラグランジェは非常にエレガントな表式を生み出した。 コンパクトで後々の補間法で便利に使えるものである。 ところで ｘ が x∈Aの場合は上で定義されているのだが、xが集合Aに属さない場合にはどんな値になっているのか不明である。
