アトムの物理ノート

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超関数の公式,　

1/(x-iε) = p.v. 1/x +　iπ δ(x)　…(1)

に表れる超関数プリンシパル・バリューについて説明しておく。　読みづらいですが２項目のデルタ関数の前の係数は　「i　（アイ）」　と　「π（パイ）」です。　p.v.というのはprincipal valueの略で、次のように定義されています。

(p.v.1/x) ≡ x/(x²+ε²) …(2)

ここではεは常に微少で、計算の最後にゼロに持ってゆくパラメーターとしておきます。　この定義を採用すると、積分区間が[−∞,∞]の積分に関して

∫ dx (p.v.1/x) f(x) 　=lim_ε→0[　∫_[-∞,-ε] dx f(x)/x +∫_[ε,∞] dx f(x)/x ]　…(3)

という公式が得られます。　こちらの方をp.v.1/xの定義にして(2)式を導くというのもありです。　そえでは、(2)と(3)の定義が等しいことを示してみます。　仮定としてf(x)は適当に性質の良い関数であるとします。具体的には必要な回数だけ微分可能であること、またｘ→±∞でゼロになることを要求します。

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