指数関数と複素平面１
次の指数関数の大事な性質の証明を示しておきたいと思います。
指数関数ezについては「自然対数の底e入門」で詳しく解説しましたから、忘れている読者は前の記事を読み返して下さい。今回使うのは指数関数の定義です。
この定義だけから指数関数の性質ezew=ez+wを証明することが出来ます。
ezew
= ��n zn/n! ��m wm/m!
= ��n��m znwm/(n! m!)
= ��n=０〜∞��k=n〜∞ znwk-n/(n! (k-n)!) (n+m=k）
= ��k=０〜∞��n=０〜k znwk-n/(n! (k-n)!) (和の順番を入れ替え公式）
= ��k=０〜∞ (z+w)k/k! (二項展開公式を使いました)
= ez+w
式変形の途中で和の順番の入れ替えと二項展開の公式を使いました。分らない場合にはこれらの公式がこの記事の最後に集めてありますから参考にしてください。これで指数関数の性質が証明されました。
(和の公式)
式変形の途中では次の和公式を使いました。
��n=0〜∞��m=0〜∞ f(n,m)
= ��n=0〜∞��k=n〜∞ f(n,k-n)
= ��k=0〜∞��n=0〜k f(n, k-n)
f(n,m)は和の記号の中に入っているn，ｍの関数です。この式は一般に任意のf(n,m)に対して成立します。図をみてください、左はn，ｍの和を取る点をn-m平面に描いたものです。赤い点全てを取ると��n=０〜∞��m=０〜∞に対応します。右は和の取り方を変えた��k=０〜∞��n=０〜kに対応しています。右の図では和はn+m=一定の直線に沿って行われます。図を見れば二つの和のとり方は等しいことが分るでしょう。
(二項展開の公式)
(a+b)n= Σr=０〜ｎ nCr an-r br
= Σr=０〜ｎ n!/[(n-r)! r!] an-r br
ez+w = ez ew |
指数関数ezについては「自然対数の底e入門」で詳しく解説しましたから、忘れている読者は前の記事を読み返して下さい。今回使うのは指数関数の定義です。
ez = 1 + z/1! + z2/2! + z3/3! + z4/4! + z5/5! + … |
この定義だけから指数関数の性質ezew=ez+wを証明することが出来ます。
ezew
= ��n zn/n! ��m wm/m!
= ��n��m znwm/(n! m!)
= ��n=０〜∞��k=n〜∞ znwk-n/(n! (k-n)!) (n+m=k）
= ��k=０〜∞��n=０〜k znwk-n/(n! (k-n)!) (和の順番を入れ替え公式）
= ��k=０〜∞ (z+w)k/k! (二項展開公式を使いました)
= ez+w
式変形の途中で和の順番の入れ替えと二項展開の公式を使いました。分らない場合にはこれらの公式がこの記事の最後に集めてありますから参考にしてください。これで指数関数の性質が証明されました。
(和の公式)
式変形の途中では次の和公式を使いました。
��n=0〜∞��m=0〜∞ f(n,m)
= ��n=0〜∞��k=n〜∞ f(n,k-n)
= ��k=0〜∞��n=0〜k f(n, k-n)
f(n,m)は和の記号の中に入っているn，ｍの関数です。この式は一般に任意のf(n,m)に対して成立します。図をみてください、左はn，ｍの和を取る点をn-m平面に描いたものです。赤い点全てを取ると��n=０〜∞��m=０〜∞に対応します。右は和の取り方を変えた��k=０〜∞��n=０〜kに対応しています。右の図では和はn+m=一定の直線に沿って行われます。図を見れば二つの和のとり方は等しいことが分るでしょう。
(二項展開の公式)
(a+b)n= Σr=０〜ｎ nCr an-r br
= Σr=０〜ｎ n!/[(n-r)! r!] an-r br
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