2017-05

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Q016 無理数と連分数

[制限時間:10分]

この数を無理数を使って簡潔な形に表せ。(記事に考え方のヒントがあります)

renbunsu03.gif

√2 ~ 1.41 と書けばある程度√2の大きさが分る。たぶん普通の人は整数を基準にして数字の大きさを測ってると思われる。だから1.41と言えば√2は1と2の間だとイメージがわく。座標軸でいえば大体この辺だと言えるから安心できる。

ところで√2~1.41と書いたところでこれは正確な√2の性質を説明していない。もっと数を増やして√2~1.41421 と書いたところで、「良く頑張って計算したね、でもこれは√2ではない」という評価しか得られない。例えば√2は無限に続く数だから1.41421は近似であって√2ではない。そこで1/3=0.33333…と書くのをまねて√2=1.41421…と無限に続くことを”・・・”で示そうというのは進歩だがこれでも駄目だ。何故なら1.41421の次にくる数字が分らない。√2の小数点以下には規則性がない数字が並ぶのだ。だから”・・・”という書き方では√2を表現できない。色々考えてみると√2を小数で表すのは√2の近似表現であることに気づく。つまり我々は小数点以下を並べ

√2≒1.4
√2≒1.41
√2≒1.414
√2≒1.4142
√2≒1.41421
√2≒1.414213
√2≒1.4142135
√2≒1.41421356
√2≒1.414213562

という感じで√2の近似表現の精度をあげていっているわけだ。n番目の式での誤差Δnは Δn < 1/10n だ。つまり誤差は書いてない次の桁程度である、大きく見積もって1/10nということだ。これは我々が10進数を使っているためである。さてそれでは√2の性質を損なわずに、その大きさを分りやすく表現する方法はないのだろうか?少数表現は大きさは良く分るが√2の無理数としての性質を表現するのには適していない。もともと無理数は規則性のある小数で書けないものというのが定義だったからこれは当然だ。例えば 0.333333・・・・は規則性があるのでその数をxとおいて10倍すると、

10 x = 3.333333…
x = 0.333333…

引き算して 

→ 9x=3.0000000…

→ x=3/9=1/3 

と整数の比で表せたわけだ。整数の比で表せるものは有理数と呼んだ。だから無理数を小数で書くのは名前の通り無理である。

そこで√2の性質を振り返ると x2=2となるようなxが√2の定義だった。この定義を変形して

1 = x2-1 = (x-1)(x+1)

x-1 = 1/(1+x)

x= 1+ 1/(1+x)

この式は何を言っているのだろうか?我々はx=√2が正の数であることを知っているので1/(1+x)は1に比べて小さいことを知っている。つまり√2は1に近いということだ。そんな事は知っていると笑わないで欲しい。小数表現を知っていないのに√2=1.?ということが分ったのだ、小さな発見と言ってよいだろう。そこで大目にみると

x≒1

である。これで終わってはつまらない。何かもっと精度を上げる方法を探したい。色々考えてみた挙句、右辺の無視し項1/(1+x)のxに1を入れてみればもっと正確ではないだろうかと気がつく。なんせx≒1だからである。つまり

x=1+1/(1+x)≒1+1/(1+1)

よって√2は1+1/2=1.5に近いのではないか!? と分るのだ。こんなことをえっちらおっちらのも楽しいものだ。 さてこの方法をもっと拡張するには「x≒1だから1を代入する」というのではなく「xの正確な式x=1+1/(1+x)をごっそり右辺のxに代入する」という一寸したコロンブスの卵が必要だ。つまり

x = 1+1/(1+x)

 =1+1/(1+(1+1/(1+x)))

 =1+1/(1+(1+(1+1/(1+x))))

 =・・・

という具合だ。無理数をこうやって分数の入れ子で書く方法を連分数という。こうやって書くと√2の規則性が見えているのが面白い。小数で書くと規則性が見えないものが、連分数では見えている。こんなやり方で√2を10回の入子構造で近似して連分数表現すると

renbunsu02.gif

何か深い意味が在るのかも知れないが、私の知識はここまでだ。最後に連分数表現の途中で1/(1+x)を無視したどのくらいの近似になるか見てみよう。

√2≒1+1/(1+1) = 1+1/2 =3/2 = 1.5
√2≒1+1/(1+(1+1/(1+1))) = 1+1/(2+1/2) = 7/5 =1.4
√2≒1+1/(1+(1+1/(1+(1+1/(1+1))))) =1+1/(2+1/(2+1/2)) = 17/12 = 1.41667
√2≒(省略) = 41/29 = 1.41379
√2≒(省略) = 99/70 = 1.41429

と近似が続いてゆく。近似の次数nとその値をグラフにすると


赤い線が√2の値で、点はn回の入子構造までで近似して連分数表現した場合の値だ。図を見ると振動しながら√2に収束しているようだ。
数学的に収束性がどのくらい良いのか私は知らない。定理があると思われるので見つけたら記事を書こうと思う。

コメント

mt&猫顔 さんへ

解等有難うございます。mtさんの解は正解です。

猫顔さんのほうは正解といっていましたが、私の
見落としがあって少し違っています。問題の連分数は
初項がなく直ぐに分数展開が始まりますから、ちょっと注意が必要です。

二次方程式を立てると答えが二つ出ますが、私は直感的にあきらかということで正の方を解としました。数学的にやるにはどうしましょうか。二人の答えをみて符号のどちらかを取るのは結構面白い問題だと気がついたので、そのうち記事にしたいと思います。ネタがないので何でも使いちゃいます(笑)。 

とにかく少ない読者の中の貴重な書き込みです、有難うございました。興味を持ってくれる人が一人でもいるというのでまたやる気が出てきます。

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