2017-11

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≪ Q016 無理数と連分数 ALL 古典力学 3 (運動方程式前編) ≫

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三角関数

三角関数、sin(x), cos(x)の微分を導出したい。証明はすべて幾何学的かつ直感的にやるつもりだ。





先ず加法定理を導出するために次のように単位円に直角三角△AOBと△BODを配置した。図を見ると次の関係が直ぐに分る

sin(α+β) = AC + BD
cos(α+β) = DO - BC

二つの直角三角△AOB,△BODの鋭角α,βにsinとcosの定義を適用すれば

AB = sin(α)
BO = cos(α)
BD = BO sin(β) = cos(α) sin(β)
DO = BO cos(β)= cos(α) cos(β)

となる。残るACとBCがしりたいのだが、色々と調べてみると△BACと△BODが相似であることに気がつく(点Aから垂直に降りる点線と線分BOが交わる点での角度を見ると証明できる)。この事実から∠BAC = βが分る。後は簡単だろう、


AC/AB = cos(β) → AC= AB cos(β) = sin(α) cos(β)
BC/AB = sin(β) → BC= AB sin(β) = sin(α) sin(β)

となる。これらを代入すれば

sin(α+β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
cos(α+β) = cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β)

と加法定理が導ける。二つの角度の和が90度以下ならここでやった証明がどんな角度のα、βにも使える。そうでない場合はここでの証明とは違う図形を用いて同様な証明が可能である。その場合の証明はここでは行なわない。



次に三角関数の微分を導出したい。その基本となるなる式

Limθ→0sin(θ)/θ = 1

を幾何学的に証明する。下の図のように第一象限の単位円に角度θを持つ三角形を考えよう。
sincos_kahouteiri03.gif


ここで角度はラジアン(角度=円周とする定義)で測ることにするとθ=弧ADの長さである。弧の長さは円の中にある三角形の高さよりは長く、外を囲む線分AEDよりは短い。

AB ≦ θ ≦ AE + ED

という関係で上限と下限が制限される。またAEは直角三角形△AECの底辺なので斜辺であるCEよりは短い。よって


AB ≦ θ ≦ CD

となるがAB=sin(θ), CD=tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)であるから

sin(θ)≦ θ ≦ sin(θ)/cos(θ)

がいえる。この不等式は

cos(θ) ≦sin(θ)/θ ≦ 1

を意味するのでsin(θ)/θの極限は

limθ→0 sin(θ)/θ = 1

の証明ができる。もう一つ必要な式があるので準備しておく。

Limθ→0 [1-cos(θ)]/θ
= Limθ→0 [1-cos2(θ)]/[θ (1+cos(θ))]
= Limθ→0 sin2(θ)/[θ (1+cos(θ))]
= Limθ→0 [sin(θ)/θ] ×Limθ→0 [sin(θ)/(1+cos(θ)]
=0

以上の準備が整ったら三角関数の微分である。上で証明した加法定理を使い

dsin(θ)/dθ
= LimΔ→0[sin(θ+Δ)-sin(θ)]/Δ
= LimΔ→0[sin(θ)cos(Δ)+sin(Δ)cos(θ)-sin(θ)]/Δ
= LimΔ→0[sin(θ)(cos(Δ)-1)/Δ+(sin(Δ)/Δ)cos(θ)]
= cos(θ)

とサイン関数の微分が求まった。同様にやればコサイン関数の微分も導出可能だろう。疲れたので後は宿題にしたい。



sin(θ)の上限をおさえる不等式

sin(θ) ≦ AE+ ED

は円周よりも外接する多角形の周が長いことを意味している。直感的には下の図を見れば一目瞭然だと思う。円をゴム紐で張られた図形だとしよう。円周と外接多角形の間には隙間があるが、隙間を埋めるためにはゴム紐を引っ張って多角形の形に一致させる必要がある。ゴム紐を引っ張るのは伸ばすためで、つまり多角形の周りの方が長くなる。
sincos_kahouteiri04.gif


積分で円周を求める公式を知っている読者は

s = ∫√[dx2+dy2]
=∫dx √[1+(dy/dx)2]

を思い出して欲しい。この公式をみると|dy/dx|が大きいほど積分は大きくなる。つまり傾きの絶対値が大きいほど円周は長くなる。上の図では円の接線の傾きは外接する多角形の辺よりも常に下にあり、円の方が傾きも当然小さい。よって外接する多角形の周りの方が長くなる。
(円より外接する多角形の周りが長いという結論は正しいと信じているが、あまり説明になっていないような気がしている。詳しくは次の記事で調べたい。)


追記:ここに書いた事はどれも高校数学であるが、三角関数の微分を導出する方法に関して議論があるようなので私なりに工夫して説明を試みた。そのため高校生にも分る幾何学的説明にこだわった。間違いや、もっと良いアイディアがあったら是非連絡を下さい。アトムは三角関数の微分導出の証明に興味があります。

コメント

SO(2)

http://bbs10.fc2.com/php/e.php/mymyBBS/

<--- 導出について - U

2006/10/13(Fri) 21:50

<----- 加法定理に言及されておられるので
       ご笑覧下さい。

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