2017-07

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≪ 古典力学は破綻したのか? ALL フラクタル植物園 ≫

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A016 無理数と連分数

科学クイズの問題番号16番の正解がmtさんによって出ました。問題を作った時には答えは一つだと単純に思っていたのですが、少し疑問点もわいてきました。解答も兼ねて整理しておきたいと思います。

再度問題の連分数を掲載します。
renbunsu03.gif

まず問題の連分数ですが、下の図のようなルールがあることに気がつくでしょう。この連分数はx=1/(1+x)という関係を満たす数です。右辺のx(図では赤いで囲みました)に繰り返しx=1/(1+x)(図ではで囲みました)を代入していけば問題の連分数が作られます。




よって答えは

x=1/(1+x) → x(1+x)-1 = 0

という二次方程式の解です。解の公式を使えば

x = (-1±√5)/2

です。しかし問題文の連分数を見るといかにもこれは正の数に見えますからx=(-1+√5)/2が正解だろうということになります。もう一つの解は負になりますからこれは採用しないということです。問題を作った段階ではこういう説明で良いだろうと思っていました。しかしいろいろと考えてみても答えが負の数になることを論理的に排除できそうにもない、よってどちらも正解に思えてくるのです。しかしこれは直感的には理解し難い、何故なら正の数の(引き算なしの)単純な組み合わせで負の数が出てくるのはパラドックスです。そこでこの問題について私なりに色々と考えたことを説明したいと思います。

問題文の連分数を良くみてください、今回の図と少し違うところがあります。今回の図では入れ子構造を分りやすくするためにxを残してあるのです。問題文ではそのxの部分が無限に1だけで作られた連分数が続くという意味合いを込めて”・・・”で表現されています。試しに入子構造の図でx(-1±√5)/2を入れてみて下さい。どの段階でも構いません、x(-1+√5)/2を代入して分母の有利化などを行なうと(-1+√5)/2に戻ります。同じことをもう一つの解(-1-√5)/2を使ってやってみるとこれも自分自身に戻ります。そうなるように方程式を作ったので当然の結果でしょう。よってどちらの解も問題の連分数表現、無限に1が続くというように書くことができます。しかし一方は正、もう一方は負の数。1を積み重ねて負の数が出てくるとはちょっと信じがたいものがあります。ならば”・・・・”の部分に秘密が隠されているはずです、他に怪しいところはありません。


次回に続きます。

コメント

なんかずいぶん荒っぽい議論をしていませんか?
無限を扱うのに、無神経すぎるような気がします。
 解答の方程式も、極限が存在するとして、初めて意味を持ちますよね。
 正確には、数列(漸化式)の極限として処理する物でしょう?
 解析概論等、古典的教科書の常識のような気もするのですが。

足して負の数

正の数を足して、負の数になるのか・・・

感覚的には、負の数の解を排除してしまいたい・・・

これをどのようにして、論理的に証明ができるのか。

私自身も、連分数について勉強してみたいと思います。

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