2017-10

目次

≪ A016 連分数と無理数 (つづき) ALL 有効数字 ≫

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

π=3.14187±0.00004

πに誤差がついていてなんだろうと思った人もいたでしょうが、これはモンテカルロ法で求めたπの値です。モンテカルロ法というのはなぜそんな名前ついたのかは知りませんが、数値計算で多重積分をおこなう際にランダムなサイコロを振って積分値を求める方法で非常に強力な方法となっています。そんなプログラムを組んでπの値を求めると、私の結果では


     π = 3.14187 ± 0.00004


となりました。誤差の評価が甘いので実際の値π=3.14159・・・を再現しないがあまり気にしないことにする。たまにはこういう遊びも良いだろうと思うので、知らない人のためにモンテカルロ法の解説でもしようと思う。 πは円の面積と関係がある。よって円の面積を測ることができればπを得ることが出来る。以下にはxy平面上の第一象限にある1/4円の面積を考える。

先ずモンテカルロ法では[0,1]の区間の乱数を発生させることで(x,y)という点を得る(二回乱数をふってその数をx、yとする)。以下にそのようにして得られた(x,y)の点を二次元平面上に描いた図を載せる。黒い点が乱数によって得られたものである。赤い線は1/4円を表す。




左から乱数によって得られた点の数は10, 102, 103, 104 である。点はランダム数から作られたのでx-y平面上の0≦x≦1, 0≦y≦1 の区間に均等に分布するだろう。点の数が増えると、平面は黒で埋め尽くされるだろう。そこで赤い線の内側に入った点の数を数えるとそれは円の面積に関係ありそうだ。これがモンテカルロ法のアイディアだ。適当に点をうって、円の内部に入った点の数を数えることで円の面積を求めようというわけだ。



半径1の1/4円の面積は S=π/4で与えられ、ランダムに選んだ点が円の内部に入る確立P(in)は


P(in)= (1/4円の面積)/(領域全体の面積) = (π/4)/1 = π/4

となるだろう。そしてN個のランダムな点をxy平面上にふると、円の内部に入る点の数n(in)は確率的に


n(in)
= (点のトータル数)×(点が1/4円の内部に入る確立)
= N × P(in) = Nπ/4

となる。この結果から、1/4円中の点を数える事でπが求まることになる。πについて式を解くと


π = 4 n(in)/N


となる。つまり最初に見せたπは乱数から発生させた点のうち赤線の中に入った点を数え、その4倍をNで割ったものだ。もちろんここでの計算は確率的な話であるから、点の数を多く取らないと正しい答えに行き着かない。確立というのはなんでもそうだ、宝くじの当たる確立だって、スロットで777が並ぶ確立だって全ては多くのサンプルを取らないと成立しない話である。下にランダムに選んだ点の数を増やして、その場合に得られたπの値を描いた。点線はπ=3.14159・・・の値だ。105個のサンプルを取るとかなり良い値が得られるようだ。こうやって得られたπは統計誤差がつく、つまりランダムにふった点が円の内部に入る個数n(in)=Nπ/4はNを十分大きくした場合のみ成立するため、実際にはこの計算にはずれがある。その誤差を統計学に基づきに計算することで得られた値の誤差とした。

montecarlo_pi02.gif

コメント

コメントの投稿

管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

http://letsphysics.blog17.fc2.com/tb.php/136-14fc9546

«  | HOME |  »

CATEGORIES

RECENT ENTRIES

RECENT COMMENTS

RECENT TRACKBACKS

APPENDIX

アトム 

アトム 

趣味   近所散策と物理

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。