2017-09

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≪ π=3.14187±0.00004 ALL 位相速度と群速度 ≫

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有効数字

数値計算をするときに有効数字の考えは大事です。数値計算では答えが正確に出るわけではないので、得られた答えの数字をみて、どの桁まで有効なのかを知っていなければなりません。


ある質問掲示板で見つけた高校の物理問題です。


速度が340[m/s]で振動数170[1/s]の波を考える。この波の波長をもとめよ。

という問題があり、その場合の有効数字を知りたいという質問がありました。答えは

波長[h] = 340[m/s]/170[1/s]
        = 2 [m] (?)

なので答えは2mですが、本当にそうなのかということです。物理の問題では、例えば波の速度340[m/s]を測定したメーターに誤差があったとするとどのくらい答えが変わるのかを知っていなければなりません。誤差まで考えて答えを合わせる、それが科学実験の態度です。



さて有効数字と言うくらいですから、どんなことがあろうが値が変わらないという意味で、有効な桁の数だと考えるの自然でしょう。質問の例で言えば


340/170

を計算するわけですが、この数字の持つ誤差を含めて考えてみると340は


340.4≒340
339.5≒340

のどちらともみなせますから、二つの場合を考えて


(340±0.5)/170=2±0.0029・・・


なわけです(本来+0.4/-0.5と書くのが正確ですが誤差の評価に誤差を入れる必要はないでしょうから±5とします。また振動数にも誤差がある可能性がありますが、その場合の計算は読者自身でやってみてください)。そこで天地がひっくり返っても変わらない数字は2以下の小数の二桁まで、つまり


(340.±0.5)/170≒2.00

と書けばよいでしょう。この場合の有効数字は3桁です。つまりこの場合は波長2mで、測定からくる誤差は小数点以下3桁めの数字にしか影響を与えません。



しかし最初の340が一桁目を近似した数だったなら(これは340という書き方ではあまり明確になっていないので、問題文の書き方はあまりよくないと思いますが)


335≒340
344≒340


とどちらも340とみなせます。その場合に誤差を含めて考ええると


(340±5)/170=2±0.029・・


なわけで、答えは


(340±5)/170=2.029又は1.970・・・ 


となります。どちらの場合にも答えは小数点以下2桁目を四捨五入すれば2.0となりますが、3桁目を四捨五入すると2.03と1.97で数字が異なります。つまり有効な数字は2.0までです。2.0と書いた時には0の次の桁を四捨五入したという意味がありますから、そのルールの上では天地がひっくり返っても2.0の二つの数字は変わりません。誤差はその次の数字に影響を及ぼします。



有効数字のことで私には苦い経験談があります。数値計算を始めたころ、コンピューターで複雑な数値計算を行い最終的に先生と答えあわせをする事になりました。その時のデーターは


先生の答え=2.034521
自分の答え=2


のようなものでした(多少の脚色)。まあ最初の数、つまり2はあっていますが、答えの大きさが大体分っているなら、計算せずにあてずっぽうに1~9の間の数をとっても9回に1回は偶然で一致します。つまりそんないい加減な答え合わせをしても意味がありません。一桁の数字をあわせるだけなら、答えが偶然一致する可能性が十分にあるからです。先生としては2の次の数が知りたいわけですが、私は適当ですので「答えは2」としか言えなかったわけで、今となっては笑えませんが本当に当時の私はそういったことをやっていました。先生が欲しいのは例えば2.000000という数字です。フォートランで数値計算をするなら6桁の精度を出すのは可能ですから答え合わせは6つの数字が合って初めて答えが一致したと言うべきです。6つの数字が偶然一致する確立は10-6くらいでしょうから、その可能性は殆どありません。当時の私は数値計算初心者で有効数字の概念など全くなく、今では笑えない失敗です。




コメント

うわあああああああああああああああ

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