アトムの物理ノート

波には位相速度と群速度という二つの速度があります。正弦波を使って説明したいと思います。簡単のために振幅が１の正弦波　h(t,x)


h(t,x) = sin(wt-kx)


を考えます。h(t,x)は時刻ｔ、位置ｘにおける波の高さで、w=角振動数,kは波数ベクトルと呼ばれ波長λとk=2π/λの関係があります。

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h(t,x)は時間を含むので正弦波は時間が経つと移動します。それではこの波の移動する速さはどうなるでしょうか？　正弦波全体について考えるとなかなか答えにたどり着けません。そこで正弦波の一つの山に注目してみましょう。sin関数の山の頂点はφ≡wt-kx=π/2で与えられます。何故なら位相がπ/2はサイン関数の最大値sin(φ)=1だからです。よって山の位置をyとすると


φ(t,y) = wt-ky = π/2


です。この式をyについて解くとy=(w/k)t-π/(2k)となりまり、これが山の頂点y(t)の満たす式です。これを時間で微分すると


dy/dt = w/k


と山の移動速度が求まります。波の速さを決めるためには山の頂点を選ぶ必要はなく、一般にφ(t,x)=kt-kx=一定を満たす位置ｘの速度を調べれば同じ結果が得られます。これを波の位相速度といって


v_φ ≡ x/t = w/k

と定義されます。この式は正弦波の位相φ＝wt-kxから決まるのでそういう名前がついています。位相速度は一種類の波が移動する速さを表す量です。

下のGIFファイルにサイン波と、φ＝π/2の山の位置を赤い点で描きました。この場合位相速度は赤い点の動く速さです。（動いてない場合はクリックして下さい）

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波は波長ごとに異なる速度をもつ場合があります。そこで


w=w(k)


と波長ごとに異なる角振動数を持つ波を考えます。こういう波は位相速度も波長ごとに違ってきます。

二つの波の重ね合わせを考えます。以前やったように振動数の近い二つの波を重ね合わせると「うなり現象」が起きますが、その場合の波の速度はどうなっているのでしょうか？　波数の近い二つの波h₁(t,x) = sin(w(k)t-kx)とh₂(t,x) = sin(w(k+Δ)t-(k+Δ）x)を重ね合わせてみます（Δ<<1)。三角関数の和を積にする公式とにらめっこをして次の答えを得ます。


H(t,x)≡h₁(t,x)+h₂(t,x)
= 2cos[(w(k)-w(k+Δ))t/2+Δx/2]sin[w(k)t/2+w(k+Δ)t/2-(k+Δ/2)x]


Δが小さい場合の近似w(k+Δ)≒w(k)+Δ w'(k)　（ここでw'(k)=dw(k)/dkを意味する)を使って整理すると


H(t,x) = 2A(t,x)sin[wt-kx]
A(t,x)=cos[Δ/2(w't-x)]

となります。これは二つの波の積ですが、A(t,x)とsin(wt-kx)を別々にグラフにすると




この図はt=0 k=1, w'(k)=1, Δ=0.1として描いてみました。赤い線はA(t,x)を表し、緑はsin(wt-kx)に対応します。下にこれらを掛けたH(t,x)を描いてみました（動いてない場合はクリックして下さい）
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大事なのはΔが小さいために二つの波を重ねあわせると共鳴が起こることです。重ねあわせによって出来た波には二つの構造があります。大きな波の構造A(t,x)=cos[Δ/2(w't-x)]と細かい揺らぎの構造sin(wt-kx)です。よってこれらの波に関して群速度と位相速度という二つの速度が定義できます。 群速度はA(t,x)の位相Δ/2(w't-x)が一定という条件から


v_g = dw(k)/dk


位相速度は小さな波の揺らぎsin(wt-kx)から決まるので、先ほどと同じv_φ=w/kです。二つ以上の波を重ね合わせた場合も同じようにして群速度と位相速度が定義できます。


まとめると、いくつかの波を重ねあわせると群速度と位相速度という二つの速度が定義できます。群速度v_g=dw/dkは重ねあわせの大きな構造(A(t,x)）が移動する速さを表しています。位相速度は個々の波が持つ速度でv_φ=w/kで定義されます。






[問題]　相対性理論ではE² - p²=m²という関係が成り立つ。ここで量子力学のド・ブロイ波

Ψ=e^i(Et-px)

との考察から相対論的運動量と速度の関係式を導出せよ。

答え： p=mv/√(1-v²)