2017-07

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≪ 有効数字 ALL はじめに ≫

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位相速度と群速度

波には位相速度と群速度という二つの速度があります。正弦波を使って説明したいと思います。簡単のために振幅が1の正弦波 h(t,x)


h(t,x) = sin(wt-kx)


を考えます。h(t,x)は時刻t、位置xにおける波の高さで、w=角振動数,kは波数ベクトルと呼ばれ波長λとk=2π/λの関係があります。


h(t,x)は時間を含むので正弦波は時間が経つと移動します。それではこの波の移動する速さはどうなるでしょうか? 正弦波全体について考えるとなかなか答えにたどり着けません。そこで正弦波の一つの山に注目してみましょう。sin関数の山の頂点はφ≡wt-kx=π/2で与えられます。何故なら位相がπ/2はサイン関数の最大値sin(φ)=1だからです。よって山の位置をyとすると


φ(t,y) = wt-ky = π/2


です。この式をyについて解くとy=(w/k)t-π/(2k)となりまり、これが山の頂点y(t)の満たす式です。これを時間で微分すると


dy/dt = w/k


と山の移動速度が求まります。波の速さを決めるためには山の頂点を選ぶ必要はなく、一般にφ(t,x)=kt-kx=一定を満たす位置xの速度を調べれば同じ結果が得られます。これを波の位相速度といって


vφ ≡ x/t = w/k

と定義されます。この式は正弦波の位相φ=wt-kxから決まるのでそういう名前がついています。位相速度は一種類の波が移動する速さを表す量です。

下のGIFファイルにサイン波と、φ=π/2の山の位置を赤い点で描きました。この場合位相速度は赤い点の動く速さです。(動いてない場合はクリックして下さい)
sinha1.gif




波は波長ごとに異なる速度をもつ場合があります。そこで


w=w(k)


と波長ごとに異なる角振動数を持つ波を考えます。こういう波は位相速度も波長ごとに違ってきます。

二つの波の重ね合わせを考えます。以前やったように振動数の近い二つの波を重ね合わせると「うなり現象」が起きますが、その場合の波の速度はどうなっているのでしょうか? 波数の近い二つの波h1(t,x) = sin(w(k)t-kx)h2(t,x) = sin(w(k+Δ)t-(k+Δ)x)を重ね合わせてみます(Δ<<1)。三角関数の和を積にする公式とにらめっこをして次の答えを得ます。


H(t,x)≡h1(t,x)+h2(t,x)
= 2cos[(w(k)-w(k+Δ))t/2+Δx/2]sin[w(k)t/2+w(k+Δ)t/2-(k+Δ/2)x]


Δが小さい場合の近似w(k+Δ)≒w(k)+Δ w'(k) (ここでw'(k)=dw(k)/dkを意味する)を使って整理すると


H(t,x) = 2A(t,x)sin[wt-kx]
A(t,x)=cos[Δ/2(w't-x)]

となります。これは二つの波の積ですが、A(t,x)とsin(wt-kx)を別々にグラフにすると

gunsokudo_01.gif


この図はt=0 k=1, w'(k)=1, Δ=0.1として描いてみました。赤い線はA(t,x)を表し、緑はsin(wt-kx)に対応します。下にこれらを掛けたH(t,x)を描いてみました(動いてない場合はクリックして下さい)

gouseiha.gif




大事なのはΔが小さいために二つの波を重ねあわせると共鳴が起こることです。重ねあわせによって出来た波には二つの構造があります。大きな波の構造A(t,x)=cos[Δ/2(w't-x)]と細かい揺らぎの構造sin(wt-kx)です。よってこれらの波に関して群速度と位相速度という二つの速度が定義できます。 群速度はA(t,x)の位相Δ/2(w't-x)が一定という条件から


vg = dw(k)/dk


位相速度は小さな波の揺らぎsin(wt-kx)から決まるので、先ほどと同じvφ=w/kです。二つ以上の波を重ね合わせた場合も同じようにして群速度と位相速度が定義できます。


まとめると、いくつかの波を重ねあわせると群速度と位相速度という二つの速度が定義できます。群速度vg=dw/dkは重ねあわせの大きな構造(A(t,x))が移動する速さを表しています。位相速度は個々の波が持つ速度でvφ=w/kで定義されます。






[問題] 相対性理論ではE2 - p2=m2という関係が成り立つ。ここで量子力学のド・ブロイ波

Ψ=ei(Et-px)

との考察から相対論的運動量と速度の関係式を導出せよ。

答え: p=mv/√(1-v2)

コメント

Re: 光関係の研究をしています.

微分とその逆数の関係は、一変数関数だと

df(x)/dx=1/(dx/df)

で良いですよね? 導出は・・・チェーンルールで良かったですかね.

(df/dx)(dx/df)=1


> 説明とてもわかりやすかったです.
>
> 1つ質問ですが,群速度を伝搬定数β=kn(nは屈折率)を用いると,
>
> vg=1/(dβ/dω)
>
> と記述することもあるようですが,この式はどこから出てくるんでしょうか?ただ,β(本文中ではk)をβ(ω)と考えて逆数をとっているということですか?

光関係の研究をしています.

説明とてもわかりやすかったです.

1つ質問ですが,群速度を伝搬定数β=kn(nは屈折率)を用いると,

vg=1/(dβ/dω)

と記述することもあるようですが,この式はどこから出てくるんでしょうか?ただ,β(本文中ではk)をβ(ω)と考えて逆数をとっているということですか?

あ、過去のアトムさんお久しぶりです、ひゃまです。
大分、光の空間理論纏まりました、ネットサーフィン中でした^^;

エネルギーと質量の関係は、振動という意味では同じでしょう。
物質自体が空間を占めるもの、すなわちエネルギーが寿命を持ち空間に閉じている。
閉じている分動かしにくさが生じる、これが開いたエネルギーである電磁波と違うところである。
閉じている開いているというのはエネルギー(振動パターン)が空間に対してという意味

光波を質量に換算したければ、m=(E=hv)/c0^2(光の空間力)

物質は寿命あるから、c0^2=c^2(時間軸分)+v^2(空間移動分)

Σm=ΣE(静止+運動)/(c0^2)=ΣE/(c^2+v^2)

どうせ静止質量なんていっても、2GM/r(重力と慣性力)が掛かった地上で計測してるんだし、質量は、エネルギーと空間力の相関値なんだ
★電磁波と光(空間)をいっしょにして、光波は質量がないなんていうから論理がおかしくなるだけ
ひゃまの光の空間力より

感想への返事

院試受験者さん、g.aさん、感想有り難うございました。
また気が向いたら遊びに来て下さい。

とてもわかりやすかったです
ありがとうございました!!

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昔、群速度の導出法が探せなくて、自力で導出した時も二つの波の「うなり」で計算したんだが、他人も同じ方法を使うという事を今知る事ができた。
頭の片隅に引っかかってた事が解消されました。
(自覚してなかったから探そうとしなかったんだなー)

ありがとうございます

RANIさん、感想ありがとうございます。
また遊びにきてください。

基礎的な物理を学びなおしている大学院生です。群速度と位相速度が視覚的に分かりやすく書かれており助かりました。ありがとうございます。

過去に私自身が疑問におもったことなどを中心に
記事にしていますが、誰かの参考になれば幸いです。

感想ありがとうございます。

大学3年です.物理学辞典を読んでもいまいちわからなかったのですが大体わかりました.わかりやすい解説ありがとうございます.

感想ありがとうございます。

k7oさん、感想ありがとうございます。
だいたいの記事は私が大学生の頃に疑問に思っていたことや、学んで面白かったことが中心となっています。なので大学生の方に参考になったというのはうれしいです

大学3年です
とても参考になりました。導出もわかりやすく、プログラムも理解に役立ちました!

有難うございます

コメント有難うございます。 でもどうして私の日本語のサイトが読めたのでしょうか?日本人ですか? また遊びに来てください。

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