アトムの物理ノート

量子力学のテキストではデルタ関数のポテンシャルを考えることがある。普通に考えるとポテンシャルとしてデルタ関数のように特異性が高い関数を考えるのは少し抵抗がある。通常は井戸型ポテンシャルにおいて高さVと幅aの積V×aを一定にしてa→０の極限としてデルタ関数のポテンシャルが実現されるというのがよく聞く説明だ。つまり非常に高いピークを持ちその幅が無視できるようなポテンシャルを近似することでデルタ関数が実現するということだ。
デルタ関数ポテンシャルが存在するという立場、近似的にそのような効果が現れるという立場、そのどちらにせよ最終的に得られる結果が同じであれば、それは好みの問題かもしれない。

デルタ関数ポテンシャルの存在性を考えるのはこれくらいにして、実際に計算を始めよう。今回の目的はデルタ関数ポテンシャルを用いて、空間の狭い領域に強いポテンシャルがある場合の束縛状態を調べることだ。そもそも束縛状態が存在するのかどうかが問題である。



無限に深いが幅は無限に狭い穴が開いている。電子はこの穴に束縛されるのだろうか？

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考えるシュレディンガー方程式は

[ -h²/(2m)d²/dx² + C δ(x)] Ψ = E　Ψ

少し整理しておいて

-d²/dx² Ψ = (ε - c δ(x))　Ψ

ここで　ε=2mE/h²、c=2mC/h²。原点以外では
δ(x) = 0となるのがデルタ関数の定義であるから、x < 0 と x > 0でのシュレディンガー方程式は自由粒子と全く同じである。つまり

Ψ_1,2(x) = A_1,2 exp( κ x) + B_1,2 exp(- κ x)

κ = √(-ε)

添え字１はx < 0 の領域における波動関数、２は x > 0　における波動関数とする。ここで ε < 0　でなければ波動関数はexp(ikx)、k=√ε となってこれは振動解でｘ→±∞でゼロにならない。つまり束縛状態が実現するためには ε　< 0 でなければならない。また

Ψ₁(-∞) = 0 →　B₁ = 0
Ψ₂(+∞) = 0 →　A₂ = 0

も直ぐにわかる。 よって

Ψ₁(x) = A₁ exp( κ x)

Ψ₂(x) = B₂ exp(- κ x)

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次に二つの波動関数のx=0における接続条件を考えよう。通常は波動関数とその微分が滑らかにつながる事を要請するのだが、デルタ関数のような特異なポテンシャルの場合には注意を要する。ポテンシャルが x = 0 で急激に変化しているために波動関数の連続性が成立するかどうかを調べておく必要があるのだ。

シュレディンーガー方程式の両辺を領域[-a,　a]で積分してみよう。

-∫dx d²/dx² Ψ = ∫dx(ε - c δ(x))　Ψ
-[ dΨ/dx ]_-a〜a = ε∫Ψ dx - c　Ψ(0)

Ψ’(a) - Ψ’(-a) = c Ψ(0)-ε ∫dx Ψ

この式は波動関数の微分が連続でないことを意味している。この式でa→０の極限をとると

Ψ’(+0) - Ψ’(-0) = c Ψ(0)　

が導かれる。つまりデルタポテンシャルの係数cの分だけ波動関数の微分に跳びがあることを意味する。（ここで波動関数自体は連続であると仮定して計算をしてきた。（補足））

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波動関数Ψ_{1, 2}に対して原点での連続性とその微分の跳びを与える条件を考えると

Ψ₁(0) = Ψ₂(0)　　→　　A₁=　B₂

Ψ'₁(0) - Ψ'₂(0) = c Ψ₁(0) → 2κ = -c

κ = √(-ε)　で正の実数であった二番目の条件が成立するためには c < 0 、つまり束縛状態が実現するためにはデルタ関数ポテンシャルは無限に深い穴でなければならない。そしてこの関係式より

E ＝ -m C²/(2h²)

という束縛状態のエネルギーが得られる。調和振動子や井戸型ポテンシャルの場合にはエネルギーの高い状態が無限に存在したが、デルタ関数ポテンシャルでは束縛状態はこれだけである。波動関数を規格化すればA₁も決まりこの問題は解けた事になるがここではやらない。因みに得られた結果は当然井戸型ポテンシャルから極限操作によってデルタ関数を実現した場合に得られる結果と一致している（井戸型ポテンシャル１を参照)。

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このようにデルタ関数ポテンシャルは一見難しそうに見えて解くのは非常に簡単である。有限の井戸型ポテンシャルの問題を解いたことがある読者ならこの簡単さに少しばかりの感動を覚えるだろう。簡単に解けて量子力学の面白い側面はしっかり残っているのだから演習問題として重宝されるわけだ。量子力学のテキストや試験問題としてデルタ関数ポテンシャルが使われるのはそういうわけだ。

（補足）　特異なポテンシャルが滑らかなポテンシャルの極限として実現されているなら波動関数自体が不連続になることは考えにくいと思われる。