2017-11

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≪ 「無限論の教室」 野矢茂樹 ALL ブロッホの定理3 ≫

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論理演算と真偽表

論理演算を使って命題を組み合わせると新しい命題が作られる。複雑な命題はいくつかの命題の組み合わせからなる。そこで論理演算を自由に使いこなせると便利である。大事なのは命題とは「真=True」か「偽=False」の二者択一であるということ。二つの可能性しか存在しないのだから命題の真偽を調べつくすことが出来る。





   NOT命題:「¬A=Aではない」は命題「Aである」と逆の真偽値を持つ。     

1列目は命題Aの真(=T)偽(=F)を場合わけしたもので、二列目はその時のNOT命題の真偽値。
例)「2=2」真、「2=2ではない」偽
例)「2>3」偽、「2>3ではない」真







   AND命題:「A∧B=AかつB」は命題「Aである」と「Bである」の同時成立を主張する      

AND命題は二つの命題が同時に真である時のみ真をとる。
例)「2は偶数(真)」かつ「負の数(偽)」、AND命題は偽
例)「0<1(真)」かつ「3=1×3(真)」 AND命題は真
 20060503070535.gif






   OR命題:「A∨B=AまたはB」は命題「Aである」と「Bである」の少なくともどちらか一方が成立する事を主張する      

OR命題は二つの命題のうち一つでも真であれば真となる。
例)「2は偶数(真)」または「負の数(偽)」、OR命題は真
例)「0<1(真)」または「3=1×3(真)」 OR命題は真
20060503070545.gif






   IF命題:「A⇒B=もしもAならB」は、命題「Aである」が成立するなら命題「Bである」も成立する事を主張する     

IF命題は最初の命題Aが成立しないなら命題Bの成立に言及していない事に注意。
例)「2は奇数(偽)」ならば「0=1(偽)」はIF命題として真
例)「0<1(真)」ならば「3<-1(偽)」はIF命題として偽
20060503070529.gif


我々は一つの命題を異なる表現で言い直すことができる。その際に命題の真偽値が変わる事はない。また真偽値が常に一致する命題は同じ命題の異なる表現である事も分る。なぜなら真偽表を作って全ての場合を調べつくす事によって二つの命題の等価性を判定できるからである。例えばIF命題を次のようにNOTとORを使って言い直すことが出来る。



   IF命題の等価表現: 「A⇒B」=「¬A∨B」, つまり「AならばB」は「Aでないか、またはBである」。  

この等価性は下の真偽表から導かれる。
20060503070556.gif








最後に論理演算に関するド・モルガンの公式を真偽表から導いておく。
下の真偽表から二つの表現¬(A∧B)、¬A∨¬Bが常に同じ真偽値を持つことが分る。また¬(A∨B)、¬A∧¬Bの等価性も真偽表から分る。したがって次のド・モルガンの公式に到達する。


  ド・モルガン公式: ¬(A∧B) = ¬A∨¬B   
          ¬(A∨B) = ¬A∧¬B   

真偽表ではNOT命題「¬A」「¬B」の値を記入してないが、各自で下の表が正しいことを確認して欲しい。
20060503070605.gif



20060503070621.gif

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