Ｑ１７ 優乃の漸化式
優乃さんのブログGraviness BlogにてＮＨＫの高校数学Ｉで出題された問題を一般化したとても綺麗な問題が出題されています。興味がある人は3角形の角のn等分線の長さにトンで覗いてください。ここでは優乃さんが作った問題に現れる次の漸化式の解法を示します。
問題は k, x0, xn+1 が与えられたとして次のｎ個の連立方程式を解け（全ての xm＝０などのつまらない解は除く）。
x0 x1 + x1x2 =k x0 x2............(1)
x1 x2 + x2x3 = k x1 x3...........(2)
x2 x3 + x3x4 = k x2 x4...........(3)
x3 x4 + x4x5 = k x3 x5...........(4)
.......................
xn-1 xn + xnxn+1 = k xn-1 xn+1............(n)
結構面白い問題ですよ、是非トライしてみてください。
細かい計算まで書くと流れがつかみにくいので先ず大まかな所から。
�� 答えが存在することを逆手にとって x0 と x1が与えられたとして全てのxm をx0とx1で表します。計算すると
xm =(α-β)x0x1/[ x0 (αm-βm) - x1(αm-1-βm-1) ]
α = (1/2)[ k + √(k2-4)]
β = (1/2)[ k - √(k2-4)]
となります。
��任意のxmがx0,1で書けていますからxn+1もx0,1を使って書けています。そこで上の式でmをn+1とおいてx1について解くと
x1 = x0 xn+1(αn+1-βn+1)/[xn+1 (αn-βn) + x0 (α - β)]
となります。このx1を先のxmに代入すれば任意のｍに対してxmがk, x0とxn+1を使って表された事になります。答えを確認するのに便利なように、n=10の場合のk , x0, xn+1を与えた時の０〜１１までのｘのリストを与えておきます。
[ケース1]
k=1/2, x0=1, x11=1
(1, 23/38, -23/4, -23/40, -23/16, 23/32, 23/32, -23/16, -23/40, -23/4, 23/38, 1)
[ケース2]
k=1/2, x0=1, x11=-1
(1, -43/18, -43/52, -43/8, 43/48, 43/32, -43/32, -43/48, 43/8, 43/52, 43/18, -1)
[ケース3]
k=3, x0=1, x11=-1
(1, 199/76, 199/29, 199/11, 199/4, 199, -199, -199/4, -199/11, -199/29, -199/76, -1)
計算の詳細に興味がある人は以下を参照。
それではxmをx0,1を使って表す方法を考えます。問題の式で(m-1)番目の式を解くと
xm = -(xm-1 xm-2)/(xm-1 - k xm-2)................(A.1)
という関係が求まります。これをそのまま解くのは至難の業。何故至難か？ それは線形方程式じゃないからです。そこでxに関する逆数を取ります
xm-1 = k xm-1-1 - xm-2-1 ...............(A.2)
分りやすくするために am= 1/xm を定義するとこの式は
am = k am-1 - am-2.............(A.3)
となります。なんとか解けそうな漸化式になりましたね。この漸化式は
(am- α am-1) = β (am-1 - α am-2)............(A.4)
の形に変形できるのでした。高校数学でやったはずですが、私もすっかり忘れていました（お陰で苦労しました）。このα, β は 今の場合
α + β = k
α β=1 .............(A.5s)
という関係があるので二次方程式の解の方法で求まり
α = (1/2)[ k + √(k2-4)]
β = (1/2)[ k - √(k2-4)] .............(A.6s)
と表されます。（A.4)において(am- α am-1)のまとまりを一つの項とみると、この漸化式は等比級数の形なので解けて
(am- α am-1) ＝ βm-1 (a1- α a0) ...............(A.7)
また(A.4)でαとβを入れ替えた漸化式も成立しますから、（Ａ．７）の解でαとβを入れ替えた式も成立します。
(am- β am-1) ＝ αm-1 (a1- β a0) ...............(A.8)
(A.7)と(A.8)を整理してamについて解き、その逆をとると
xm = 1/am =(α-β)x0x1/[ x0 (αm-βm) - x1(αm-1-βm-1) ]
が一般解となります。
問題は k, x0, xn+1 が与えられたとして次のｎ個の連立方程式を解け（全ての xm＝０などのつまらない解は除く）。
x0 x1 + x1x2 =k x0 x2............(1)
x1 x2 + x2x3 = k x1 x3...........(2)
x2 x3 + x3x4 = k x2 x4...........(3)
x3 x4 + x4x5 = k x3 x5...........(4)
.......................
xn-1 xn + xnxn+1 = k xn-1 xn+1............(n)
結構面白い問題ですよ、是非トライしてみてください。
細かい計算まで書くと流れがつかみにくいので先ず大まかな所から。
�� 答えが存在することを逆手にとって x0 と x1が与えられたとして全てのxm をx0とx1で表します。計算すると
xm =(α-β)x0x1/[ x0 (αm-βm) - x1(αm-1-βm-1) ]
α = (1/2)[ k + √(k2-4)]
β = (1/2)[ k - √(k2-4)]
となります。
��任意のxmがx0,1で書けていますからxn+1もx0,1を使って書けています。そこで上の式でmをn+1とおいてx1について解くと
x1 = x0 xn+1(αn+1-βn+1)/[xn+1 (αn-βn) + x0 (α - β)]
となります。このx1を先のxmに代入すれば任意のｍに対してxmがk, x0とxn+1を使って表された事になります。答えを確認するのに便利なように、n=10の場合のk , x0, xn+1を与えた時の０〜１１までのｘのリストを与えておきます。
[ケース1]
k=1/2, x0=1, x11=1
(1, 23/38, -23/4, -23/40, -23/16, 23/32, 23/32, -23/16, -23/40, -23/4, 23/38, 1)
[ケース2]
k=1/2, x0=1, x11=-1
(1, -43/18, -43/52, -43/8, 43/48, 43/32, -43/32, -43/48, 43/8, 43/52, 43/18, -1)
[ケース3]
k=3, x0=1, x11=-1
(1, 199/76, 199/29, 199/11, 199/4, 199, -199, -199/4, -199/11, -199/29, -199/76, -1)
計算の詳細に興味がある人は以下を参照。
それではxmをx0,1を使って表す方法を考えます。問題の式で(m-1)番目の式を解くと
xm = -(xm-1 xm-2)/(xm-1 - k xm-2)................(A.1)
という関係が求まります。これをそのまま解くのは至難の業。何故至難か？ それは線形方程式じゃないからです。そこでxに関する逆数を取ります
xm-1 = k xm-1-1 - xm-2-1 ...............(A.2)
分りやすくするために am= 1/xm を定義するとこの式は
am = k am-1 - am-2.............(A.3)
となります。なんとか解けそうな漸化式になりましたね。この漸化式は
(am- α am-1) = β (am-1 - α am-2)............(A.4)
の形に変形できるのでした。高校数学でやったはずですが、私もすっかり忘れていました（お陰で苦労しました）。このα, β は 今の場合
α + β = k
α β=1 .............(A.5s)
という関係があるので二次方程式の解の方法で求まり
α = (1/2)[ k + √(k2-4)]
β = (1/2)[ k - √(k2-4)] .............(A.6s)
と表されます。（A.4)において(am- α am-1)のまとまりを一つの項とみると、この漸化式は等比級数の形なので解けて
(am- α am-1) ＝ βm-1 (a1- α a0) ...............(A.7)
また(A.4)でαとβを入れ替えた漸化式も成立しますから、（Ａ．７）の解でαとβを入れ替えた式も成立します。
(am- β am-1) ＝ αm-1 (a1- β a0) ...............(A.8)
(A.7)と(A.8)を整理してamについて解き、その逆をとると
xm = 1/am =(α-β)x0x1/[ x0 (αm-βm) - x1(αm-1-βm-1) ]
が一般解となります。
コメント
たらい
すみません。計算理論は全然分かりません。ただ耳学問ですが、たらい関数は「定義通り」プログラムすると、引数がちょっと大きくなっただけで、とんでもなくステップ数が必要になるはずです。その意味では Mathematica の弱点ということはないと思います。
私もマスマティカのパフォーマンスには甚だ驚かされています。
一寸した問題があると直ぐにマスマティカはどれくらいできるだろうと常に調べているので全く苦になりませんでしたよ。というか自分でも興味があったので言われるまでもなく調べてありました＾＾
ついでに、だいぶ前に一部のブログで熱くなっていたタライ関数もやったんですがね。 あれは全然駄目でした。 再帰的な定義が直ぐに莫大なものになってマスマティカにはちょっと苦手な分野のようでした。
かがみさんもタライ関数に興味をもっていましたかね？
一寸した問題があると直ぐにマスマティカはどれくらいできるだろうと常に調べているので全く苦になりませんでしたよ。というか自分でも興味があったので言われるまでもなく調べてありました＾＾
ついでに、だいぶ前に一部のブログで熱くなっていたタライ関数もやったんですがね。 あれは全然駄目でした。 再帰的な定義が直ぐに莫大なものになってマスマティカにはちょっと苦手な分野のようでした。
かがみさんもタライ関数に興味をもっていましたかね？
ありがとうございます
こんばんは。さっそく教えて頂きありがとうございます。
一般解は Mathematica には少々苦しいかと思い、どんなものか興味があり、ご迷惑とは思いましたが実験をお願い致しました。 n=2,3 程度までなら単なる代入で 4次以下の方程式に帰結出来そうなので、なんとかなるかなと思っていましたが、n=5 まで計算出来るとは、さすが Mathematica だと思います。
今回はお手数をおかけしました。今後ともよろしくお願い致します。
一般解は Mathematica には少々苦しいかと思い、どんなものか興味があり、ご迷惑とは思いましたが実験をお願い致しました。 n=2,3 程度までなら単なる代入で 4次以下の方程式に帰結出来そうなので、なんとかなるかなと思っていましたが、n=5 まで計算出来るとは、さすが Mathematica だと思います。
今回はお手数をおかけしました。今後ともよろしくお願い致します。
ますまちか君は
かがみさんお久しぶりです。集合論の勉強さぼっててお恥ずかしいかぎりですが、遊びに来てくれてうれしいです。nを決めてmathematicaにこの方程式を放り込むと一応全て自動で解いてくれます。mathematicaは連立方程式を解くプログラムSolveが装備されていますから。 で、やってみた結果n=5までは直ぐにやってくれたんですが、それ以上になるとエラーがでるんですよね。mathematicaは存在する全ての解を提示してくれるんですが、この場合問題はトリビアルな解の一つがプログラムに何か悪さをしているような気がします。
時間はかかっても単純な線形方程式なら十分大きなｎまで解いてくれると思うんですが、この場合はmathematicaが自動でやってくれるのはn=5まででした。
こういった解答でよろしいでしょうか？ それとも何か別な質問でしたか。何かあればまた書き込んでください 有難うございました
時間はかかっても単純な線形方程式なら十分大きなｎまで解いてくれると思うんですが、この場合はmathematicaが自動でやってくれるのはn=5まででした。
こういった解答でよろしいでしょうか？ それとも何か別な質問でしたか。何かあればまた書き込んでください 有難うございました
こんにちは、かがみです。どうもお久しぶりです。
上の方程式を x_0,x_{n+1},k を具体化し、Mathematica に放り込むとどうなるのでしょうか。もしくは k のみ変数のままとか。ちょっと興味があります。宜しかったら実験して頂けるとうれしいです。
上の方程式を x_0,x_{n+1},k を具体化し、Mathematica に放り込むとどうなるのでしょうか。もしくは k のみ変数のままとか。ちょっと興味があります。宜しかったら実験して頂けるとうれしいです。
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＊関数の定義に関数が入るようなループ的構造（まさにタライ関数）
＊出力データーが大きくなるもの
これらにマスマティカを単純に使うのは巧くいかなかったと言うことです。（巧い方法があるにちがいないんですが知らない。）馬鹿でかい連立方程式なんかも消去法でプログラムを組んでやった事あるんですが、どうも重すぎる。こういうのってきっとマスマティカのプログラム自体の知識があると原因がわかるんでしょうが・・・・・