2017-07

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≪ 北村薫 短編集「水に眠る」 ALL Q19の解答 ≫

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Q19 級数和に関する問題

世の中には面白い級数和が色々あります。例えばΣn=11/n2 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・・ = π2/6 などは非常に綺麗な公式でしょう。自然数の逆冪二乗和を取ると超越数であるπの二乗と関係がつくという不思議があります。こういった級数の計算に抜群なセンスを発揮し次々と素晴らしい公式を作り上げていったのは18世紀の天才数学者レオンハルト・オイラーです。天才の仕事というのは高度に抽象的なものが多いためアマチュア数学者などには理解し難い面がありますが、オイラーの級数和に関する限り私達にも彼の天才的なヒラメキの一端を垣間見ることが出来るものだと思います。オイラーが求めた級数として

Σn=1 1/n = ∞

Σn=1 1/n2 = π2/6

Σn=1 1/n3 ≡ ζ(3)

Σn=1 1/n4 = π4/90

などは良くお目にかかります。(逆奇数冪和はπなどを使って表せない数であると思われていてζ(3)などと書きます。)


少しひねった級数和 A(1)=Σn=1 1/[n(n+1)] を考えてみましょう (後々の便利のためにこの級数にAという名前をつけておきます)。これは一見計算が難しくなるように思えますが実は非常にシンプルなのです。この計算には部分分数の分解法をつかって

Σn=11/[n(n+1)] 
= Σ[1/n - 1/(n+1)]
= [ 1/1 - 1/2] + [ 1/2 - 1/3] + [1/3 - 1/4]+・・・・+[1/n - 1/(n+1)]+・・・

と書く事ができます。隣り合う四角い括弧を見ると符号だけが異なる数が存在している事に気がつきますから、この和は殆どの部分がキャンセルして残るのは最初の括弧内にある1だけです。つまり

A(1) = Σn=11/[n(n+1)] = 1

なんとも拍子抜けするような簡単さです。それではもう少しひねって A(2)=Σn=11/[n(n+1)(n+2)]はどうなるでしょう。この計算も部分分数の分解法をつかって

Σn=11/[n(n+1)(n+2)] 
= Σn=11/[n(n+1)]×1/(n+2)
= Σn=1[1/n - 1/(n+1)] ×1/(n+2)
= Σn=1{1/[n(n+2)] - 1/[(n+1)(n+2)]}
= Σn=1{(1/2)[(1/n - 1/(n+2)]- [1/(n+1) - 1/(n+2)]}
= Σn=1{(1/2)1/n - 1/(n+1) + (1/2)/(n+2)}

と変形できます。このままでは先程のように巧くはいきません。1/(n+1)の項を二つにわけて (1/2)1/(n+1) + (1/2)1/(n+1)と書いてうまくまとめると

A(2) = Σn=1 1/[n(n+1)(n+2)] 
= (1/2)Σn=1{1/n - 1/(n+1)} - (1/2)Σn=1{1/(n+1)-1/(n+2)} 
= (1/2)×1-(1/2)×(1/2) = 1/4

という答えがでてきます。長い変形ですが丁寧にやっていけば誰でも計算を追う事が出来るはずです。さてこのよう級数和の一般項

A(k) = Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)(n+k)]

はどうなるんでしょうか。もちろん丁寧に同じ方法で計算していけばk=10でもk=100の場合でも原理的には巧く計算できるはずです。しかしkの値を決めることなく一般的な表式を得るにはこの方法では無理がありそうです。天才オイラーだったらどうやったでしょうか。 彼ならきっとこのような複雑な級数和でもやってしまったに違いありません。答えからいうと

A(k) = Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)(n+k)] = 1/(k×k!)

となります。どうやったんでしょうか。これが今回の問題です。問題は笹の葉さらさらさんのブログわりと好きかもしれませんで取り上げられていました。(更新がないのが残念ですが、笹の葉さらさらさんたまにはチェックしていますか?次回二つの解答を載せたいと思います。)

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