Q19の解答
科学クイズＱ１９の解き方（その１）です。問題を読んでない方はそちらからどうぞ。それにしても科学クイズの割には近頃数学の問題が多くなっていますね。数学も科学ということで勘弁してください。 ちょっといじくってみますが以前のように単純に部分数分解しても気の遠くなるような長い数式がでてきて途中で諦めてしまいます。こういった問題では漸化式などが立つと非常に有益な情報が得られるものです。つまり直接A(k)を求めようとせず、A(k)とA(k-1)の違いはどのようになるだろうかという所に目を向けます。するとと最期の二つの積に部分分数分解をつかったらどうなるだろうかと思えてきます。最期の二つの積に 1/[(n+k-1)(n+k)]={1/(n+k-1)-1/(n+k)}を使って変形してみましょう。
A(k)
=Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)]×{1/(n+k-1)-1/(n+k)}
=Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)] - Σ1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)×(n+k)]
第一項はA(k-1)です。二項目は(n+k-1)が分母に欠けていますかがこれを分子と分母に補ってやると
=A(k-1) - Σn=1 (n+k-1)/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
となります。二項目の和はこれまでに出てきた形に帰着させられないだろうか思えてきます。そこで二項目の分子を更に巧く分けてやると
= A(k-1)
- Σn=1 n/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
- Σn=1 (k-1)/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
となります。二項目は分子のnと分母のnをキャンセルさせ、三項目の分子(k-1)は和に関係ありませんからくくりだしてやると
= A(k-1)
- Σn=1 1/[(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
- (k-1)Σn=1 1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
= A(k-1) - (k-1)A(k) - Σn=1 1/[(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
です。最期に三項目のｎの和でｎをn-1とおき直すと
=A(k-1) -(k-1)A(k) - Σn=2 1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k-1)]
=A(k-1) -(k-1)A(k) - [A(k-1)-{1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k-1)}n=1]
=A(k-1)- (k-1)A(k) - A(k-1) + 1/k!
つまりA(k)=A(k-1)- (k-1)A(k) - A(k-1) + 1/k! ですが、これを解くとA(k)=1/[k×k!]が得られます。何とか巧くいきました。この問題の答えは知らなかったので自分で思考錯誤しました。その過程も感じ取ってもらえたらうれしいです。
A(k)
=Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)]×{1/(n+k-1)-1/(n+k)}
=Σn=11/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)] - Σ1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)×(n+k)]
第一項はA(k-1)です。二項目は(n+k-1)が分母に欠けていますかがこれを分子と分母に補ってやると
=A(k-1) - Σn=1 (n+k-1)/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
となります。二項目の和はこれまでに出てきた形に帰着させられないだろうか思えてきます。そこで二項目の分子を更に巧く分けてやると
= A(k-1)
- Σn=1 n/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
- Σn=1 (k-1)/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
となります。二項目は分子のnと分母のnをキャンセルさせ、三項目の分子(k-1)は和に関係ありませんからくくりだしてやると
= A(k-1)
- Σn=1 1/[(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
- (k-1)Σn=1 1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
= A(k-1) - (k-1)A(k) - Σn=1 1/[(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k)]
です。最期に三項目のｎの和でｎをn-1とおき直すと
=A(k-1) -(k-1)A(k) - Σn=2 1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k-1)]
=A(k-1) -(k-1)A(k) - [A(k-1)-{1/[n(n+1)(n+2)・・・(n+k-2)(n+k-1)(n+k-1)}n=1]
=A(k-1)- (k-1)A(k) - A(k-1) + 1/k!
つまりA(k)=A(k-1)- (k-1)A(k) - A(k-1) + 1/k! ですが、これを解くとA(k)=1/[k×k!]が得られます。何とか巧くいきました。この問題の答えは知らなかったので自分で思考錯誤しました。その過程も感じ取ってもらえたらうれしいです。
コメント
きれい！
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積分で計算できることに気付いた後は、
それで満足してそれ以上考えていなかったのですが、
この計算はあざやかですねー。
私も、こっちの計算の方が好みです。