2017-03

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≪ Q19の解答 ALL Q19の解答2 ≫

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β関数

次の積分はβ関数と呼ばれるものです。

F(n,m)=∫01 (1-x)n xm dx ..................(1)

ここでn,mは正の整数で、積分はxについての0~1の領域で行なわれます。以下では式を見やすくするために積分領域を書かない場合もありますが、常にx=0からx=1の領域での積分だと思ってください。
さてこの積分は部分積分の方法を使うと簡単に求まります。
(1-x)n = -1/(1+n)d(1-x)n+1/dx
を使って

F(n,m)
= -1/(1+n)∫ [d(1-x)n+1/dx][ xm] dx
= -1/(1+n)[(1-x)n+1xm]01  +  1/(1+n)∫[(1-x)n+1][dxm/dx] dx
= m/(1+n))∫[(1-x)n+1][xm-1] dx
= m/(1+n)) F(n+1,m-1)

を得ます。部分積分してx=0とx=1を代入した項はゼロになります。なぜならxと(1-x)の正冪の掛け算ですから。よって

F(n,m) = m/(1+n) F(n+1,m-1) ..........(2)

という関係式を得ることができました。これをじっと見つめてください。F(n,m)はmの値を一つ減らしnの値を一つ大きくした関数F(n+1,m-1)と関係がついているわけです。(2)式の両辺でnとmをn+1,m-1とおき直した

F(n+1,m-1)= (m-1)/(2+n) F(n+2,m-2) .............(3)

という関係も当然成り立ちます。(3)を(2)に代入すると

F(n,m) = m(m-1)/[(1+n)(2+n)] F(n+2,m-2)

と今度はnを2増やしてmを2減らしたF(n+2,m-2)と関係がつきます。この操作を繰り返していけばどんどんmを減らす事ができます。変わりにnは増えますが。

F(n,m) = [m(m-1)(m-2)...2・1]/[(1+n)(2+n)(3+n)...(m+n)] F(n+m,0) ........(4)

二番目の変数mの値を減らすように(2)式を使ってゆけば最期にはF(n+m,0)が現れます。このF(n+m,0)については元の定義式より

F(n+m,0) = ∫01 (1-x)n+m dx
= 1/(n+m+1)

と簡単に積分できて答えが得られます。これを(4)に代入して

F(n,m) = [m(m-1)(m-2)....・3・2・1]/[(1+n)(2+n)(3+n)....(m-1+n)(m+n)(n+m+1)]

= m!n!/(n+m+1)!

Fのnとmを一つずらした形で定義するのが通常オイラーのβ関数と呼ばれるものです。この関数はいろんな物理計算にでてくるので知っておくと非常に便利です。β関数の通常の定義を与えておきます。

β(a,b) = ∫01 (1-x)a-1 xb-1 dx

= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

Γ(n+1) = n! はガンマ関数と呼ばれています。n!のように階乗を使って書かずにワザワザガンマ関数などと名前をつけたのには訳がありますが、取り合えずn!をかっこよく表現した関数だと思っていいでしょう。

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