Ｑ１９の解答２
科学クイズの１９問目は以下のnについての和
A(k) = Σn=1〜∞ 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)....(n+k)] = Σn=1〜∞ (n-1)!/(n+k)!
をどうやるかという事でした。前回一つの解法を記事にしました。今日は別法を書きたいと思います。この問題に限ればエレガントさという面で以前の解法が優れています。しかし解析学の面からみれば以下の方法の方が面白いのではないかと思います。少しばかり知識を必要としますがじっくり計算をおえば難しくないでしょう。
解き方その２です。唐突ですが次の積分を考えます。
G(k) = ∫01 dx (1-x)k-1 = 1/k
積分領域はｘ＝０〜１です。この積分は簡単でしょう、答えは1/kです。さてここで突然技がでます。テイラー展開
1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ...... = Σn=0〜∞ xn
を使って
G(k) = ∫01 dx (1-x)k/(1-x)
= ∫01 dx (1-x)k(1 + x + x2 + x3 + x4 + ...... )
と書きます。各項の積分は補足、又は物理数学の記事「β関数」についてを見てください。補足の公式を代入すると
G(k) = 0!/(k+1) + 1!/[(k+1)(k+2)] + 2!/[(k+1)(k+2)(k+3)] + ... + n!/[(k+1)(k+2)....(k+n)] + ....
=Σn=0〜∞ k!n!/(k+n+1)!
これは問題の級数と殆ど同じすが、微妙に異なります。級数和がn=0から始まっている事に注してn⇒n-1と置きかえるとよいことに気がつきます。
G(k) = Σn=1〜∞ (n-1)!k!/(k+n)!
を得ますから、問題の和について
Σn=1〜∞ (n-1)!/(k+n)! =G(k)/k! = 1/[k×k!]
を得ます。無限級数和をある関数のテイラー展開と関係づけるこの方法はオイラーがよく用いたものです。こういった場合、キーになるのは問題となる無限和を巧く作り出すような関数を用意することです。きっとオイラーはいろんな関数のテイラー展開を知っていてこの方法を有効に活用できたのでしょう。この手法を用いると関数というのは無限和と非常に密接な関係が有る事がなんとなく分ってくるでしょう。実際多くの関数は級数展開で定義されます。そういった面からも今回の方法はなかなか奥が深いと言えるでしょう。
===================================================================
β関数の公式は
β(a+1,b+1)=∫01 dx (1-x)a xb = a! b!/(a+b+1)! です。
A(k) = Σn=1〜∞ 1/[n(n+1)(n+2)(n+3)....(n+k)] = Σn=1〜∞ (n-1)!/(n+k)!
をどうやるかという事でした。前回一つの解法を記事にしました。今日は別法を書きたいと思います。この問題に限ればエレガントさという面で以前の解法が優れています。しかし解析学の面からみれば以下の方法の方が面白いのではないかと思います。少しばかり知識を必要としますがじっくり計算をおえば難しくないでしょう。
解き方その２です。唐突ですが次の積分を考えます。
G(k) = ∫01 dx (1-x)k-1 = 1/k
積分領域はｘ＝０〜１です。この積分は簡単でしょう、答えは1/kです。さてここで突然技がでます。テイラー展開
1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ...... = Σn=0〜∞ xn
を使って
G(k) = ∫01 dx (1-x)k/(1-x)
= ∫01 dx (1-x)k(1 + x + x2 + x3 + x4 + ...... )
と書きます。各項の積分は補足、又は物理数学の記事「β関数」についてを見てください。補足の公式を代入すると
G(k) = 0!/(k+1) + 1!/[(k+1)(k+2)] + 2!/[(k+1)(k+2)(k+3)] + ... + n!/[(k+1)(k+2)....(k+n)] + ....
=Σn=0〜∞ k!n!/(k+n+1)!
これは問題の級数と殆ど同じすが、微妙に異なります。級数和がn=0から始まっている事に注してn⇒n-1と置きかえるとよいことに気がつきます。
G(k) = Σn=1〜∞ (n-1)!k!/(k+n)!
を得ますから、問題の和について
Σn=1〜∞ (n-1)!/(k+n)! =G(k)/k! = 1/[k×k!]
を得ます。無限級数和をある関数のテイラー展開と関係づけるこの方法はオイラーがよく用いたものです。こういった場合、キーになるのは問題となる無限和を巧く作り出すような関数を用意することです。きっとオイラーはいろんな関数のテイラー展開を知っていてこの方法を有効に活用できたのでしょう。この手法を用いると関数というのは無限和と非常に密接な関係が有る事がなんとなく分ってくるでしょう。実際多くの関数は級数展開で定義されます。そういった面からも今回の方法はなかなか奥が深いと言えるでしょう。
===================================================================
β関数の公式は
β(a+1,b+1)=∫01 dx (1-x)a xb = a! b!/(a+b+1)! です。
コメント
はじめまして
ありがとうございます！
自分のブログで書いた問題を扱ってもらっていることに、
別のコメントを書いた後で気が付きました。
ありがとうございます。なんだか嬉しいです。
私が用意していた解答は、こちらの積分を使う方です。
問題の和が超幾何級数で書けることに気付くと、
超幾何関数の積分表示（ベータ関数の親玉）で計算できるなあ、
と思い、書いたのでした。
もう一つの解法も、今から読ませて頂きますね。
別のコメントを書いた後で気が付きました。
ありがとうございます。なんだか嬉しいです。
私が用意していた解答は、こちらの積分を使う方です。
問題の和が超幾何級数で書けることに気付くと、
超幾何関数の積分表示（ベータ関数の親玉）で計算できるなあ、
と思い、書いたのでした。
もう一つの解法も、今から読ませて頂きますね。
コメントの投稿
トラックバック
http://letsphysics.blog17.fc2.com/tb.php/189-95fc5a83
ブログの問題をみて面白いと思い記事にしてみました。直ぐに思いついたのは漠然とガウス超幾何関数をつかったら解けるんだろうなということでした。でも超幾何関数は高校生レベルにはきついだろうと思い、あまりに手が動かなかったんですが、少し考えてみたら、ガウス超幾何の０での値に帰着でき、つまりβ関数でいけるということで頑張って記事にしました。β関数の補足も別記事で付け加えたのでなんとか高校生レベルでも理解できるだろうとある程度満足しています。
別解のほうがエレガントですが、私としては積分と級数展開をつかった解法のほうはいろんな拡張があり、是非理解して欲しいテクニックです。
取り合えず出題者に読んでもらえて嬉しいです。