2017-06

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≪ 光は光にぶつかるか? 1 ALL 映画「イーオン・フラックス」 ≫

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オープンクエスチョン 001

解析接続についての質問なんですが、どなたか知ってる方がいたら教えてください。

「解析関数に関して、ある(開)領域Dでの関数形が分っていれば一意的に領域D以外に拡張できる」=解析接続

だというのが私の理解でしたが、友人S君によれば



無限遠点での振舞い(例えば|z|→∞でf(z)→0とかの性質など)を要求して加算無限個の点z_i, i=0,1,2,3,..... でのf(z_i)が与えられれば解析関数f(z)はきまるというのです。ここでz_iはある点に収束する点列ではなく、例えば整数上に並ぶ{..., -2,-1,0,1,2,3,4,....}等の点列だとします。

この話はだいぶ昔にS君から聞いた話で条件などいくつか忘れているかもしれませんが、彼の大体の主張は以上のようなものであったと覚えています。これは本当でしょうか?証明を知っている方は教えてください。

因みにこの定理(?)は物理では良く現われますので、全くの間違いということはないと信じていますが、条件が落ちている可能性は大いにあります。どういう場面で使われるかというと、ずばりですが、ある量を離散変数関数から解析関数へと拡張するということが物理では良く行なわれます。そういった状況を私は2つ知っています。そのどれも証明はなかったけれども何かしらの定理があるというようなことが本に書いてあって、私は軽く流した覚えがあります。で、それが喉にひっかる小骨のように何時も頭の隅にありましたが、これまで解決せずに10年以上経ちます。私の喉につっかえた小骨を取ってくださる方、いませんか。

コメント

なんとなく収束してきました。

色々と考え、ネットなどで検索した結果大雑把な理解に達したと思います。

かがみさんの指摘してくれたコンフォーマル変換をつかえば無限遠点での整数点をある値に収束する点列にできるので解析関数の一致の定理に帰着するというのは確かにその通りだと思います。

その場合収束点での解析性を要求するので関数系がかなり制限されますが、この要求自体が既にかなりきつい気がします。1/x=0を集積点にする場合にはx=+∞とx=-∞での関数の連続性を考えてもらえればこの条件がかなりきつい事が納得いくと思います。すると1/xの多項式式くらいしか思いつきませんがこれは整数点でゼロになりませんから、除外されてしまいます。
ということでz=0、±1、±2、.....でゼロでx→±∞での解析性を要求というのはあまり面白くない例ではないかという気がします。

ところでカールソンの定理の方はゼロ点の数や関数の解析領域などに関していろんなバリエーションが知られているようです。オリジナルの証明はx_n=正の整数点、 解析領域が右平面で無限遠点での振舞いはf(x)~exp(-πx)という条件を課せばf(z)≡0が導けるというものだそうです。その後いろんなバリエーションが知られて、例えばゼロ点の集合A={x_n}の濃度に関する拡張とか、無限遠点での振舞いがf(x)~exp(-2πx)の場合(この場合f≡0を結論するにはf'(x_n)=0が要求されるようです) とか、いろんなバリエーションがあるようです。

興味はあるのですが、話が専門的になるので証明をフォローするのは諦めました。この手の話はentire functionの一致定理としてかなり調べられているようです。

書き込みしてくれた笹の葉さらさらさん、かがみさん、有難うございました。 議論が出ない限り、話が高度になるので私自身はこれくらいで納得する事にしたいとおもいます。

考え中

ええ言われていることも色々と考えてはいたんですが結論がでません。急ぐことでもないんでしばらく錆付いた頭で考えます。 

無限遠点付加によるコンパクト化

こんにちは、鏡です。
お話の方が収束されてきたようでなによりです。
ところで、私が最初に書いた (2) の場合は、アトムさんが赤字で書かれた部分に対応していると思いますが、何か間違っているでしょうか。少なくとも無限遠点が真性特異点でない場合、この場合も「一致の定理」が成り立つと思いますが。
「整数上に並ぶ{..., -2,-1,0,1,2,3,4,....}等の点列」は複素平面コンパクト化すれば、無限遠点を集積点とするので。
関数論の方は忘却の彼方なので、勘違いがありましたら誠に申しわけございません。

定理の名前がわかりました

ようやく私が求めていた定理の名前がわかりました。どうやらCarlsonの定理というらしいです。ネットで偶然見つけましたが証明までは見つけてません。証明ができる方おしえてください。カールソンの定理が成立するための条件には多少のバリエーションがあるようです。

証明したいことはそのとおりです。

笹の葉さらさらさんのおっしゃるように

整数nに対して f(n)=0 であり、

lim_{z->∞} z^i f(z) = 定数

という関数は多項式になるということが理解できればよさそうです。 そこが分らないのでもう少し考えてみます。

問題が整理できました。有難うございます。

ちょっと考えてみたこと。

はじめまして。
笹の葉さらさらと言います。
「数学」のテーマの更新履歴から来ました。
オープンクエスチョンについてちょっと書いてみます。

「整数点での値および適当な増大度の条件によって
 全平面で解析的な関数は一意に定まるか?」
という問題だと思うことにして考えてみると、これは
「整数点で0となり、適当な増大度の条件を満たすような
 全平面で解析的な関数は定数関数0に限るか?」
という問題に読み替えることが出来ます。

増大度の条件を何も課さなければ、
たとえば f(z)=sin(z/π) などが反例を与えます。

全平面で解析的な関数 f(z) は、
たとえば |z|→∞ において高々多項式オーダの増大度であると仮定すると、
それは無限遠点が f(z) の高々極であることを意味するので、
f(z) は実際に多項式であることになります。
従って「適当な増大度の条件」として
「|z|→∞ において高々多項式オーダの増大度」を採用するならば、
主張は正しいことになります。

どこかに勘違いなどがありましたら、ごめんなさい。

一致の定理

先ずかがみさんの書き込みに感謝します。

その後少し考えてみました。問題設定を少し変更させてもらいました。 私が悩んでいたのは整数点z_i 上で与えられたf_i=f(z_i)から解析関数f(z)を構成するということだったので、ある点に収束する点列ということではなかったのです。問題設定が不明確でした、すみません。

かがみさんが教えてくれたのは、解析接続の基礎になる「一致の定理」だと理解しましたがそれでよいでしょうか? 一致の定理ではある点に収束する点列が持ち出されますから、私の考えている状況に適用できないように思いますがどうでしょうか?

問題を理解してもらうために、もう少し物理で扱われる状況を説明しておきたいと思います。もっとも有名なのは離散的な値を持つ角運動量L_i=・・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,・・・を引数に持つ波動関数 Ψ_{L_i}(x)のインデックスL_iを連続変数へ拡張するという操作によって得られるS行列理論があります。この理論は30年ほど前に大いに成功し、非常に良く研究されましたが現代では場の理論に取って代わり今では勉強する人も殆どいません。 私が悩んでいるのは離散変数L_i から解析関数へと拡張するという操作についてです。物理なので一応波動関数に関する無限遠での振る舞いなどはマイルドなものを選んだり、適当な条件は課します。しかしどれほどの条件を課せば離散変数L_iから連続的な複素変数Lへと拡張できるのかが知りたいというところです。

少しはクリアーになったでしょうか?最初からもっと明確に問題提起をしておけばよかったと反省していますが、皆さん宜しくお願いします。


かがみさん、コメント有難うございます。
考えずに質問を繰り返すのは良くないと思うのでもう少し考えてから返答します。取り合えずはお礼までに

解析接続について

おはようございます。鏡です。

(0) まず f を原点の近傍で正則な関数とし、(z_n) を 0 に収束するすべて相異なる点列で、さらに f(z_n) = 0 とします。このとき f は恒等的に 0 です。原点の近傍で f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2... とすると z_n → 0 であることと f の連続性より f(0) = 0 となり、従って a_0 = 0. よって f(z)/z は原点の近傍で正則となり、同じ議論により a_1 = 0.
繰り返すとすべての係数が 0 となり f = 0 となります。

(1) f,g が適当な開集合上で正則。有界な可算点列 (w_n) 上で等しいとします。このとき (w_n) の部分列 (z_n) で特定の点に収束するものがとれます。
このとき平行移動と f - g を考えることにより (0) より f - g = 0.
この議論は (z_n) の収束点で f が n 位の極を持つ場合も z^n f(z) を考えることにより成立します。
ただし (z_n) の収束点が f の真性特異点の場合はうまくゆかず f(z)=sin(1/z), g(z)=2sin(1/z), z_n = 1/(2πn) が反例になります。

(2) (w_n) に有界な無限部分列が存在しない場合は f(z) の代わりに f(1/z) を原点の近傍で考えれば (1) と同様の事実が成立します。ただし f が無限遠点で真性特異点の場合は (1) と同様にうまくゆかず f(z) = sin(z), g(z) = 2sin(z), z_n = 2πn が反例と なります。

本とか見ないで書いたので、間違えていましたら、誠に申しわけございません。

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