2017-08

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Weierstrass の定理

なんと解析接続の証明なんかを考えていたら解析学の基礎の勉強に戻ってしまいました。何事も基本が分ってないと先へは進めないものですね・・・とほほ。 それで遥か昔に勉強したことをもう一度勉強しなおすと、解析学って結構面白い事やってたんだな・・・と思えてきました。大学時代もっとしっかり勉強しておけば良かったです。あの頃は「まあまあ、あたりまえっぽいからいいじゃないか」と考えもせずにいろんな定理を読み飛ばしてましたが、年の功か心に余裕がでてきたのか今は考える事を楽しめます。さて、題目のWeierstrassの定理ですが




   上に有界(∃M ≧∀an)な単調増加数列A={ a1 , a2 , a3 , a4 , ・・・・} は収束する。     


これは直感的にはもっともだと思えますが、「本当に収束するのか?」とあらためて聞かれるとなかなかすっきりしないものがあります。Mで抑えられていて収束しない単調増加数列ってイメージが出来ないんでどこから証明に手を付けて良いのか困ります。

ある本をめくったらこの定理が章末の演習にありました。そして解答はなんと3行で終わっています! スゴイ。その解答を以下に



anは単調増加関数と仮定しsup(A)=mとする。すると
∀ε > 0 に対して |an - m| < ε;n > N となるNが存在する。 よってan→m と収束する。



え、これって有り? ハードカバーを折りたくなってしまいました(笑)。

暇があったらここら辺の話ももう一度自分の中で整理しておきたいと思っています。ε-δ論法から始まって数列、コーシー列、級数の収束判定法なんかをコンパクトにまとめてみたいです。しかし相変わらず時間がとれず興味は発散する一方です。有限な時間をどう使っていくか・・・・。昔は長生きなんかしなくても良いと思っていましたが、今は頭と手が動くんなら長生きしてみたいです。ホーキング博士のようにパソコン・パチパチやりながら数学や物理を考える老後なんて憧れます。でもやっぱり頭の方はどんどん固くなるんでしょうね。すると理解するスピードは落ちてゆくのでどこかに収束点があるんでしょうね。私なんて上に有界どころか天井が見えてますから、Weierstrassの定理を持ち出すまでもなく収束です。どうせ収束点はつまらない値なんでしょうか。

コメント

こりゃ sup の定義とか存在するか?とか性質など全部分かってないと無意味な証明ですね。
まあ、本を全部理解してるという前提での証明なんでしょう。
sup の存在は実数を切断で定義してれば直ですが、完備化で定義してると証明しなきゃいけませんね。

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