アトムの物理ノート

記事を書くのをさぼってgraviness blogで出題された問題に夢中なっています。いやあ、よく色々と面白い式を出してきます。『ホントに何でこんな式思いつくんだよ！』と解けないイライラを愚痴に変えつつ暫し夢中になってしまいます。以下に私なりの証明を書きます。
誰か証明して No.2からいきます。問題は

xⁿ-yⁿ = (x-y)Σ_k=1,n x^n-ky^k-1

の証明です。左辺はx=yでゼロなので因数分解の定理（？）より　xⁿ-yⁿは(x-y)で割り切れるはずで、割り算をコツコツやると商は Σ_k=1,n x^n-ky^k-1となる筈ですが、ちょっとやる気がおきません（笑）。ところで両辺をｘⁿで割ってやると、この式は

1-aⁿ = (1-a)Σ_k=1,n a^k-1

と等価です(a=y/x)。こう見ると右辺での相殺が直ぐのわかるので証明が見えてくると思います。・・・といって面倒なのでこれで終わります。

誰か証明して No.1を逝きます。『何でこんな式思いつくんだよ！』というのは

n! = Σ_k=0　,n-1(-1)^k _nC_k (n-k)ⁿ

です。高校時代に導いた式だというから驚きです。年をとって証明できなくなったようです（笑） 導出を始めます。唐突ですが、ｔというパラメーターに関する微分D=d/dtを導入して

(n-k)ⁿ = Dⁿ e^(n-k)t|_t=0

を使います。微分をｎ回とってt=0とおくという操作で(n-k)のn乗を作り出す方法です。
= Σ_k=0　,n-1(-1)^k _nC_k Dⁿ e^(n-k)t|_t=0

= Dⁿ [ (e^t-1)ⁿ-(-1)ⁿ ]|_t=0

= Dⁿ(e^t-1)ⁿ　|_t=0

です。ここで指数関数のテイラー展開を使えば e^t＝1+t/1!+t²/2!+....ですが、tについてのｎ回微分をとって最期にt=0と置く操作がある事に注意すれば

= Dⁿ(t+t²/2!+....)ⁿ　|_t=0

= Dⁿ tⁿ　|_t=0

= n!

が導出できました。