ベルンシュタインの多項式 1
新年明けましておめでとうございます。私個人としては昨年は色々ありましたが忙しいなか結構な数の記事を書けたので自己満足しています。今年も時間をみつけて更新をまめにしたいと思います。
２００７の第一回目の記事はベルンシュタインの多項式近似について書きたいと思います。ベルンシュタイン(Bernstein)多項式は少し名前が長すぎる気がするのでBS多項式と呼ぶことにします。BS多項式は区間[0,1]で定義された関数f(x)から次のようにして作られます。
Fn(x) ≡ Σk=0,n nCk f(k/n) xk (1-x)n-k
nCk= n!/( k!(n-k)! )です。 さてBS多項式Fnは元の関数f(x)のx=k/n (k=0〜n) の点での値から作られる多項式ですが、実はf(x)の近似関数になっています。ｎを十分大きく取ると元の関数f(x)を再現します。下の図で例としてsin(πx)とlog(1+x2)に対応したBS多項式でn=10(赤), 20(緑), 30(青）と比較してみました。
黒の線が元の関数です。ｎを大きくするとBS多項式は元の関数を良く近似することが分るでしょう（log(1+x2)では全ての線が重なっていて区別がつきにくくなっています）。ところでこの多項式近似ちょっと不思議に思えます。通常関数を近似する場合には微係数の情報が必要とされることが多いのですが、BS多項式は区間[0, １]での関数の値だけから元の関数を近似してくれるのがちょっとした売りなわけです。BS多項式がもとの関数の近似式となっている事は次の機会に証明したいと思います。因みに定数関数f(x)=1の場合には、これは二項展開の公式そのものになっています。
２００７の第一回目の記事はベルンシュタインの多項式近似について書きたいと思います。ベルンシュタイン(Bernstein)多項式は少し名前が長すぎる気がするのでBS多項式と呼ぶことにします。BS多項式は区間[0,1]で定義された関数f(x)から次のようにして作られます。
Fn(x) ≡ Σk=0,n nCk f(k/n) xk (1-x)n-k
nCk= n!/( k!(n-k)! )です。 さてBS多項式Fnは元の関数f(x)のx=k/n (k=0〜n) の点での値から作られる多項式ですが、実はf(x)の近似関数になっています。ｎを十分大きく取ると元の関数f(x)を再現します。下の図で例としてsin(πx)とlog(1+x2)に対応したBS多項式でn=10(赤), 20(緑), 30(青）と比較してみました。
黒の線が元の関数です。ｎを大きくするとBS多項式は元の関数を良く近似することが分るでしょう（log(1+x2)では全ての線が重なっていて区別がつきにくくなっています）。ところでこの多項式近似ちょっと不思議に思えます。通常関数を近似する場合には微係数の情報が必要とされることが多いのですが、BS多項式は区間[0, １]での関数の値だけから元の関数を近似してくれるのがちょっとした売りなわけです。BS多項式がもとの関数の近似式となっている事は次の機会に証明したいと思います。因みに定数関数f(x)=1の場合には、これは二項展開の公式そのものになっています。
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