2017-10

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≪ 調和振動子 その2 ALL 相対性理論の正しい間違え方 ≫

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ベルンシュタインの多項式 2

BS多項式は[0, 1]で定義された関数f(x)から

Fn(x) ≡ Σk=0~n nCk f(k/n) xk (1-x)n-k

という変換で定義されますが、これはnが大きい時にはもとの関数f(x)の近似関数となるというこうとでした。[0,1]の離散的なn個の点での値f(k/n)から作られる近似関数というのが特徴です。 さてこの式の両辺を区間[0,1]で積分してみましょう。

∫dx Fn(x) = Σk=0~n nCk f(k/n) ∫dx xk (1-x)n-k

ここでβ関数の記事を参考にすると∫ dx xk (1-x)n-k = k!(n-k)!/(n+1)! でしたから

∫dx Fn(x) = Σk=0~n f(k/n)/(n+1)

となります。(nは十分大きいとして)1/(n+1)は[0,1]での点k/nで分けられた微小区間の長さΔx=1/nに等しいので

∫dx Fn(x) = Σk=0~n f(k/n)Δx

となります。これは高校で積分を習い始めの頃にでてきた面積の微小分割和の式です。つまりベルンシュタインの多項式を積分すると元の関数の積分を微小分割和で近似したものに等しい事が分りました。なるほどこれならBS多項式が元の関数の近似式になるのだろうなという気分になってきます。

さてBS多項式が元の関数の近似式であることの証明の大まかなところだけ書いておきます。先ずf(x)=xmの場合にはBS多項式が元の関数を近似する事を証明します(m=整数)。

Σk=0~n nCk (k/n)m xk (1-x)n-k ~ xm

これが成立するなら任意の多項式f(x)に関してBS多項式がその近似関数となる事が分ります(補足)。次にf(x)がテイラー展開可能な関数なら同様の証明でBS多項式で近似されることがわかります。よって(解析関数なら)一般にBS多項式が元の関数の近似式になることが証明できます。因みにf(x)=xmの場合にFn(x)=xm+o(1/n)という事が分りますからBS多項式で近似した場合にnを大きくしてもその精度はかなりゆっくりとしか上がらないことが分ります。


(補足)Σk=0~n nCk (k/n)m xk (1-x)n-k = (1/n)m (x*d/dx)m (x + y)n|y=1-x
という表式が得られることをヒントとして残りは問題として残しておきます。


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