アトムの物理ノート

ローレンツ変換を使ったちょっとしたお遊びをしてみたいと思います。



（図中の記号が本文と対応してないので後々差し換えなければならないと思いつつ、面倒なのでこのまま使わせてもらいます。）

３つの慣性系A, B, Cを考えます。慣性系Bは慣性系Aとｘ軸方向に相対速度v_xで運動しています。また二つの慣性系の原点O_AとO_Bは時刻ゼロで一致させておきます。この場合二つの慣性系の関係を与えるのは

ct_B = γ_x ( ct_A - β_x x_A)
x_B = γ_x ( x_A - β_x ct_A)
y_B = y_A

というローレンツ変換です。但しβ_x=v_x/c　、　γ_x = 1/√(1-β_x²)とします。次に慣性系Cの原点O_Cは時刻ゼロでO_Bに一致しており、慣性系Bから見てｙ軸方向へ相対速度v_yで運動しているとします。二つの系の関係は

ct_C = γ_y ( ct_B - β_y y_B)
x_C = x_B
y_C = γ_y ( y_B - β_y ct_B)

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ここで慣性系Aから見た慣性系Cの方向はどうなっているでしょうか。つまりO_CO_Aのｘ_A軸となす角θを二つの相対速度v_xとv_yを使って求めてみましょう。慣性系Aで見たCの原点の座標をO_C=(x,y)とすると

tan(θ)≡ y/x

です。そこで問題はyとｘを知りたいのですが、これは慣性系Cの原点ですからC系でみた座標原点の条件　x_C=0、 y_C = 0が使えます。上で示した二つのローレンツ変換の関係を使うと

0 = x_C = x_B = γ_x ( x_A - β_x ct_A)

0 = y_C = γ_y ( y_B - β_y ct_B) = γ_y ( y_A - β_y [γ_x ( ct_A - β_x x_A) ])

これらを解くと

x_A ＝ β_x ct_A
y_A ＝ β_y γ_x ct_A(1 - β_x²)

これらはx_C=0、 y_C = 0を満たす座標点をA系の座標を使ってみた場合の値ですからこれが求めるx, yです。つまり

tan(θ)≡ y/x = (β_y/β_x)/γ_x


です。この式は相対速度v_xが小さい時にはガリレオ的な関係tan(θ) → (β_y/β_x)　となります。特殊相対性理論による効果は1/γ_xという因子に表れており、これは古典的なガリレオ変換では理解できないものです。これは相対性理論における速度の合成則の公式を使って導く事もできます。

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今度は慣性系Cからみた系Aの原点の方向を考えて見ます。つまり慣性系CからみたO_Aの方向とx_C軸のなす角θ'をv_xとv_yを使って求めてみようというわけです。C系からみたO_Aの座標を(x'_A,y'_A)とすると

tan(θ') = y'_A/x'_A

です。先程と同じように考えていけば

tan(θ') = y'_A/x'_A ＝ γ_y(β_y/β_x)

という結論に到達するでしょう。やはり非相対論的極限ではガリレオ的な角度の式tan(θ')→(β_y/β_x)となりますが、今度の相対論的な補正はγ_yがかかっています。

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「運動は相対的である。」

相対性理論の謂わんとしていることですが系Aから見たBの方向とBから見たAの方向、これは相対的になっているんでしょうか。答えは当然Yesなのですが、今回の結果は一見おかしくなっているというのが少しパラドックスに見える（かも）ということなのですが....少し数学に強い人なら「ローレンツ変換は閉じてないから」とかの一言ですますんでしょうか。