2017-11

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≪ ローレンツ変換と虚数時間 ALL ベルンシュタインの多項式 1 ≫

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調和振動子 その1

調和振動子問題。どんな本にでも書いてあるが、後々使う事になったのでそのエッセンスだけを数回にわたって手短に説明しておこうと思う。今回はその一回目。何故調和振動子が大事かということを説明する。

hihi




電子がポテンシャルの中を運動する場合を量子力学で扱おう。シュレディンガー方程式は

[- h2/(2m)(d/dx)2 + V(x) ]Ψ(x) = E Ψ(x)

である。これは二回の微分方程式であるからポテンシャルが与えられば解けるだろう。少なくとも数値的に波動関数を求めることは可能だろう。今回はこの方程式に真正面から挑んで答えを得るつもりはない。物理の問題では運動を考える前に静的な問題から理解するのが大事だ。系の安定な状態を調べるのが理解の基本になるからである。そういうわけで

「上図のようなポテンシャルの中に置かれた電子が取りうる安定な状態はあるだろうか?」

という問題を考えてみたい。図を見れば分るように山と山の間にある谷の底に電子が束縛された状態が存在するだろう。この直感を信じて、谷の底に留まった電子状態を記述する波動関数を求めてみよう。谷の底を x = a とする。この位置が谷の底であるという条件は

(d/dx) V(x) |x=a = 0

である。またx=aは谷底であって山の頂点ではないという事から二回微分に対してV ''(a) > 0 という条件もある(下に凸の条件)。谷底付近の運動を調べるだけならポテンシャルをx=aでテイラー展開しても良いだろう。なぜなら谷底に留まった電子にとっては x=a から離れた地点でのポテンシャルなどどうでも良いのだから。物理とは関係ないが、人生の谷底状態の時には「ちょっと時間が経てば状態が改善するよ」などの友人の言葉は、それが真実であっても全く助けにならない(補足も参照)。 谷底にいる今その時の事しか見えていないのである。 脱線したが、谷底にいる電子にとって y≡(x-a) << 1 だと思ってよい。よってテイラー展開が有効で

V(x) = V(a) + V '(a) (x-a) + V ''(a) (x-a)2/2! +....

と書ける。 二項目のV '(a)は谷の底にあるという条件からゼロで、三項目は下に凸の条件からV ''(a) > 0 である。よってテイラー展開の変数を y≡x-a として V ''(a)≡ (m/2) w2 (これは正である)と書くと 

V(x) ≒ V(a) + (m/2) w2 y2,

と近似できる。三項目以降は y << 1 の条件から小さいので無視した。
谷底付近でのシュレディンガー方程式は新しい変数yを使って

[- h2/(2m) (d/dy)2 + m/2 w2 y2 ]Ψ(y) = (E-V(a)) Ψ(y)

となる。谷底から計った位置y=x-aを用いるエネルギーの原点がEからV(a)だけずれたシュレディンガー方程式になり、その際谷底付近ではポテンシャルは極率(V''(a))だけで決っているというわけだ。この問題に答えがあればそれは谷底に安定に存在する電子の波動関数であろう(補足)。このような理由から調和振動子問題は重要である。

というのは間違ってはいないまでも、実際に調和振動子が重要視されるのは別な理由もあるだろう。つまり量子力学で簡単に解ける問題として重宝されているという面もあると思われる。試験前には是非調和振動子の問題をマスターして欲しい(山を張るのはお勧めできないが、闇雲にやるよりはまだましか)。難しい問題を解くよりもこの問題を完璧に理解すれば量子力学の理解の助けになることは間違いない。そういった意味でも非常に大事な問題である。残り2回の記事で調和振動子の基本的な解法を説明したい。



(補足)ここで導いたシュレディンガー方程式はx=aでのテイラー展開を使ったために谷底から離れた場所でのポテンシャルの形を正しく記述しない。つまり得られた解のエネルギーが低い場合には谷底に安定に留まる電子の波動関数だとみなして良いが、エネルギーがポテンシャルの山を越えるほどに大きい場合には、その解は破綻していると考えられ、電子は谷から飛び出してしまうだろう。 つまり谷に閉じ込められるか、いつかは山を飛び越えてゆくかはエネルギーにかかっている。たぶんこれは人生でもそうだろう。また量子力学ではポテンシャルの壁をすり抜けて行くという解(トンネル効果)も存在するが、こちらは相当確率が低いので期待薄である。

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