アトムの物理ノート

ベルヌイ多項式を使った非常に便利な和の公式、所謂オイラー・マクローリンの総和公式の導出を目指します。そのための第一回目、ベルヌイ多項式B_n(x)の生成関数から有用な関係式を導出しておきます。

te^tx/(e^t-1) 　≡　Σ_n=0^∞ B_n(x) tⁿ/n!

ベルヌイ多項式のｘ＝０での値をベルヌイ数とよびB_n≡B_n(0) です。




(1) 具体形
B₀(x) = 1 ， B₁(x) = x -1/2　，
B₂(x) = x² - x + 1/6 　　，　B₃(x) = x³ - (3/2)x² + (1/2)x　，
B₄(x) = x⁴ - 2x³ + x² - 1/30 ，　 B₅(x) = x⁵ - (5/2) x⁴ + (5/3)x³ - (1/6)x

（２）微分の関係式：　B_n^，(x) = n B_n-1(x)

（３）積分公式：　∫₀¹ B_n(x) = δ_{n, 0}

（４）周期性: B_n(0) = B_n(1) (n≠１）

（５）奇数ベルヌイ数のゼロ　B_2n+1 = 0 （B₁=-1/2だけ例外）



（１）は生成関数の両辺をテイラー展開して比較するだけです。後々の為に最初の６つのベルヌイ多項式を示しました。（２）具体形から確かに成立している事も分りますが証明は簡単です。生成関数の両辺をｘで微分してｔの冪を比較すると導出できます。（３）右辺はクロネッカーのデルタ記号です。この式もやはり生成関数の両辺を積分して比べると直ぐにでてきます。（４）ｘ＝０とｘ＝１の生成関数の差を取れば証明できます。n＝１だけがこの関係を満たしません。（５）生成関数のｘ＝０での式をt→-tの置き換えをして引き算すると偶数冪の項は落ちて、それは殆どゼロ。よって奇数ベルヌイの効果は殆どゼロ。

不思議なのはB₁だけ例外になる公式が多いことです。