2017-10

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≪ ベルヌイ多項式 ALL 非線形電磁気学 ≫

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オイラー・マクローリンの総和公式

オイラー・マクローリン(Euler-Maclaurin)の総和公式というものがあります。数値計算法などを勉強した人は知っているでしょうし、色んな和を評価したいと思った人も出会った事があるでしょう。例えば高校数学で次のような和を調べます。

ζ(1)≡Σ1→∞ 1/i = ∞

(ブログで数式を書くのが大変なので、和の上限と下限をΣi=1n≡Σ1→n のように書きます)これはζ関数の1での値ですが、発散します。こういった級数はオイラーが非常に良く調べて

ζ(2) ≡ Σ1→∞ 1/i2 = π2/6 なども有名です。ところで高校数学でζ(1)が発散することの説明として

Σ1→n(1/i) ~ ∫1→n (1/x) dx = log(n)

を使って和の値を積分で評価します。このことから

ζ(1) = limn→∞ Σ1→n (1/i) ~ limn→∞ log(n) = ∞

という説明をします。この時、私なんかはζ(1)が発散する事の証明なんかではなく級数の和を積分で評価することはどのくらい信頼性があるのだろうとか余計な方向へ思考が発散したりします。そこで登場するのがオイラーマクローリンの総和公式です。それは関数の和

S = Σ0→n f(n)

と対応した積分

I =∫0→n dx f(x)

と関係付ける公式で、和と積分の差をしっかりと評価できます。つまりR = S-I を求めるための公式です。オイラーマクローリンの公式はコンパクトで使い勝手も良い有用な公式なんですが日本語で解説が見当たらないので次回証明を書きたいと思います。英語が読める方は、ウィキペディア(http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Maclaurin_formula) に良く書かれた記事があります。ただ私なら周期的なベルヌイ多項式などは導入せず、超関数を使った証明も省きます。(超関数を使うために周期的なベルヌイ多項式が導入されているようですからこの二つはセットです。)

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