2017-04

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非線形電磁気学

えーと、やばいタイトルですね。「このブログも終わりか、管理人さんとうとうぶっ㌧じゃったよ。」と思った方多いでしょうね。なぜなら通常の感覚からすると線形なゲージ理論を電磁気学と読んで、そうでないものは別な名前があります。実は今回は電磁気における非線形な効果についてちょっと。するとタイトルは「電磁気学における非線性」とかの方が正確で誤解を招きませんが、奇をてらってみました。 マックスウェルの電磁気学では重ね合わせの原理が理論的に重要な位置を占めています。つまりこれは電子Aと電子Bが存在した場合、この空間にできる電場は電子Aだけが存在したときにできたであろう電場EAと電子Bだけが存在した場合にできたであろう電場EBの和が粒子Aと粒子Bが同時に存在したときに実際にできる電場であるという主張です。

E=EA+EB

よくよく考えると不思議です。まあそう習ったから不思議と思ったこともなかったかもしれませんが、不思議ではありませんか? つまりEAは電子Bが存在することによって何か変化しないのだろうかという疑問もあるわけです。お互いに影響を受けてもよさそうなものです。先程赤色で強調したようにEA、EBはAとBがそれぞれ単独で存在した場合の電場です。しかし今考えているのはAもBも同時に存在する状況でそれぞれが単独で存在する場合ではないのです。それがマックスウェル方程式から結論される電場の公式なのです。いまいちピンときませんが仕方ありません(補足)。

実は電磁場の線形性については過去にも色々と調べられたようで、ボルンとインフェルトの仕事が有名なようです(Born-Infeld理論)。電磁場に関して昔の人たちが考えたアイディアと例えば次のようなものがあります。

EA = 1/(4πε0) eA/r2

という原点に置かれた電子Aが作るクーロン電場の表式においてε0は定数ではなく、

ε00(EB)

のように周囲の電荷Bがつくる電場の関数だと考えるとどうなるだろうというものがあります。こういった理論では重ねあわせの原理は成立しません。実験も色々やられたようですが、どうもこういった理論はうまくいかなかったようです。

さて量子論までいくとマックスウェルの電磁気学でも話は変わってきます。以前に記事にした「光は光とぶつかるか?」と関係して非線形な効果が存在するのです。ただしディラック海での量子揺らぎの効果は小さいですから実際上殆ど問題にならないでしょう。それでも原理的には電磁気学だって線形でなくても良いという事でしょうから、重ねあわせの原理が成立する理由を問うのも意味があるでしょう。暇がある人は考えてみると面白いかもしれません。分ったら教えてください。

(補足)電磁場に関する線形性は、言い換えると光が光とぶつからないということです。

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