2017-05

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≪ 電子の自己エネルギー その3 ALL オイラー・マクローリンの総和公式 (使用例) ≫

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クーロンの法則と次元

しばらく電子の自己エネルギーの問題を調べていて、そういえば1次元ではクーロンの法則は φ(r) = e r で、二元ではφ(r)= e log(r) で三次元ではφ(r)=e/r だから次元が下がれば発散なくなるじゃないかと単純に思いましたが、ちょっと考え直して真面目にやると変なことになりました。先ず出発点は

∇.E = e δ(r) です。これは電場は電荷から湧き出る流れとみなせるという事でした。ファラデーの電気力線のアイディアでしたっけ。またその力線の本数は電荷に比例していて、電荷のないところでは本数が増えたり減ったりはしないということでした(r≠0 → ∇.E=0) 。

一次元なら力線は電荷の右と左に一本ずつ書けば力線の密度も一定ですから、

E = 一定 → φ(x)= e |x| + c

です。それでエネルギーの原点を無限遠点を取る事ができないので,ちょっと困りましたが、x=0をエネルギーの原点にとればc=0とできるので便利でしょう。

二次元では力線は放射状にでて、その密度はrに反比例して減っていきます(σ×2πr=一定)。よって

E = 定数/r → φ(r) = e log(r)+ c

これは基準点は無限遠にも原点にも取れないのでr=1に取ってc=0としたらよいでしょう。

ようやく三次元ですが電気力線の密度はσ×4πr2=一定 を満たすので

E = 定数/r2 → φ(r) = e/r + c

無限遠点を基準にしてc=0 。とまあ、振る舞いが少しずつ変わって行くわけですが、一次元と二次元の場合に電荷を無限遠点から運んでこようとするとポテンシャルエネルギーが発散してしまいます。自己エネルギーは有限にできるが、今度は二つの電荷の間のポテンシャルエネルギーが発散してしまいます。なんとも変なことになりました。どうすればよいのかまた考えてみます。ちょっとしたメモ代わりに書きました、乱文ご容赦を。 おわり

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