アトムの物理ノート

以前出題した、連続するｎ個の整数はn!で割り切れることを証明せよという問題の解答です。色々と方法はあるでしょう。私の解答がスマートかどうかは知りません。正しい証明になっているとは思いますが、参考書で確認したわけではないので見落としが無いとも限りません。なにか問題があったら教えてください。 それでは証明始めます。連続するｎ個の整数を

k(k+1)(k+2)(k+3).....(k+n-2)(k+n-1)

と書くことにします。問題は

A_{k, n}≡k(k+1)(k+2)(k+3).....(k+n-1)/[1.2.3.....(n-1)n ]

が割り切れるかどうかです。ここでA_{k, n}の分子と分母の最後の数に注目して


A_{k　, n}
＝　k.(k+1).(k+2).(k+3).....(k+n-2)/[ 1.2.3.....(n-1) ]　×[ (k+n-1)/n ]

＝ k.(k+1).(k+2).....(k+n-2)/[ 1.2.3.....(n-1) ] + k.(k+1).(k+2).(k+3).....(k+n-2)/[ 1.2.3.....(n-1) ] (k-1)/n

＝ k.(k+1).(k+2).....(k+n-2)/[ 1.2.3.....(n-1) ] + (k-1).k.(k+1).(k+2).....(k+n-2)/[ 1.2.3.....(n-1).n ]

＝　A_{k , n-1} + A_{k-1 , n}


と変形して行けばkかnが一つ小さいAに落ち着きます。この操作を続けていけばいずれ全てがA_{m, 1} か A_{1, m}のタイプになります。これらは整数である事が明らかですから、これで証明終わり。因みに最終的に得られるA_{m, 1}やA_{1, m}の係数はパスカルの三角形に基づいて計算できます。