電磁気学 その１
以前の例で気づいた読者もいるだろうが、電磁気学をゲージ場を用いて定式化することは実は特殊相対性理論と電磁気学の融合でもある。なぜなら、観測者の運動によって電場や磁場の見え方がことなるからである。電磁気学の特殊相対性理論についての解説はするつもりはないが、多少の知識は必要とされるだろう、そのつど説明してゆく。 先ず時間と空間をまとめて
xμ=(x0,x1,x2,x3)
xμという書き方は、μに0,1,2,3が入れば、それは右辺のx0,x1,x2,x3だという意味だ。ここで x0≡ct，xi≡(x1,x2,x3)≡(x,y,z)である。cは光速、以後表式の簡単化のためにc=1とする。つまりx0=tとなる。
電磁気学では時間 tや位置 xiによる微分があわられる
∂μ≡∂/∂xμ
例えば∂f/∂x3=∂3fと書く。
さて電磁気学にはいる。先ず電場や磁場は電荷や電流から作られる。つまり電磁場の源は電荷と電流である。静止電荷が原点にあるという例を考えてみよう。この場合は電流はない。しかし速度vで運動している人から見れば、電荷のほうが速度-vで動いている見える、つまり電流だ。
電荷の分布と電流は観測者によって異なって見えるわけだ。 電荷の分布ρ(x)が、電流に見えたり、電流j(x)が電荷にみえたり、つまり電荷分布と電流は観測者の運動に左右される量なのだ。数学的には4次元ベクトルの成分であり、ローレンツ変換で混ざるのである。そこでこれらの量は一つの4次元ベクトルにまとめて書くのが良い。
jμ=(ρ，j1，j2，j3)
今のところ深い意味はない、単に4つの成分をもつベクトルとしてまとめただけだ。この書き方をつかうと連続の方程式が簡単になるのだ。
∂μjμ=0
同じ文字（この場合はμ）があればそれはΣμが省略されているというアインシュタインの書き方を使っている。つまり全て書き下すと
∂0j0+∂1j1+∂2j2+∂3j3=0 ⇔ ∂j0/∂t + ∇j=0
という連続の方程式だ。アインシュタインは省略できるところは省略して書こうという約束をしたわけだ。さすが天才的手抜きの発明だ。この手抜きのおかげで連続の方程式はたったこれだけの長さ→∂μ jμ=0 になってしまった。
それもこれも、元はといえば電流や電荷密度が一つの4次元ベクトルの成分であり、成分一つ一つを見るよりも4次元ベクトルとしてみることの方が本質だということを示唆している。
かなりのんびりペースだが第一回はこれで終わりとしよう。
区切りが良い。
xμ=(x0,x1,x2,x3)
xμという書き方は、μに0,1,2,3が入れば、それは右辺のx0,x1,x2,x3だという意味だ。ここで x0≡ct，xi≡(x1,x2,x3)≡(x,y,z)である。cは光速、以後表式の簡単化のためにc=1とする。つまりx0=tとなる。
電磁気学では時間 tや位置 xiによる微分があわられる
∂μ≡∂/∂xμ
例えば∂f/∂x3=∂3fと書く。
さて電磁気学にはいる。先ず電場や磁場は電荷や電流から作られる。つまり電磁場の源は電荷と電流である。静止電荷が原点にあるという例を考えてみよう。この場合は電流はない。しかし速度vで運動している人から見れば、電荷のほうが速度-vで動いている見える、つまり電流だ。
電荷の分布と電流は観測者によって異なって見えるわけだ。 電荷の分布ρ(x)が、電流に見えたり、電流j(x)が電荷にみえたり、つまり電荷分布と電流は観測者の運動に左右される量なのだ。数学的には4次元ベクトルの成分であり、ローレンツ変換で混ざるのである。そこでこれらの量は一つの4次元ベクトルにまとめて書くのが良い。
jμ=(ρ，j1，j2，j3)
今のところ深い意味はない、単に4つの成分をもつベクトルとしてまとめただけだ。この書き方をつかうと連続の方程式が簡単になるのだ。
∂μjμ=0
同じ文字（この場合はμ）があればそれはΣμが省略されているというアインシュタインの書き方を使っている。つまり全て書き下すと
∂0j0+∂1j1+∂2j2+∂3j3=0 ⇔ ∂j0/∂t + ∇j=0
という連続の方程式だ。アインシュタインは省略できるところは省略して書こうという約束をしたわけだ。さすが天才的手抜きの発明だ。この手抜きのおかげで連続の方程式はたったこれだけの長さ→∂μ jμ=0 になってしまった。
それもこれも、元はといえば電流や電荷密度が一つの4次元ベクトルの成分であり、成分一つ一つを見るよりも4次元ベクトルとしてみることの方が本質だということを示唆している。
かなりのんびりペースだが第一回はこれで終わりとしよう。
区切りが良い。
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