2017-08

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≪ 愛よ愛よ (カナよカナよ)  ALL 博士の愛した数式 (小川洋子著, 新潮文庫) ≫

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エーレンフェストの壺 その1

お湯に冷水を混ぜると温度は下がる。
ドアを開け放しておくと部屋の温度は平均化される。
ガスが入った風船の口をつなぐと、気体は均一に混合された状態に落ち着く。これらは全て熱力学でいうところの平衡状態の例である。熱力学はこの平衡状態について正しい予言ができる。

ところが、熱力学は平衡状態に関する素朴な疑問、「なぜ?」については答えてくれない。何故気体は混ざるの? お湯に冷水を混ぜると何故温度は下がるの? この何故に対して統計力学は確率を持ち出して答えることになる。 二つの壺A,Bを用意する。Aの壺にはN個の気体分子が入っており、Bの壺は空だとしよう。二つの壺の口を開け気体の行き来を許した状態で放置したときの壺A,B内の気体分子の個数を考える。次のような簡単化されたルールを設定しよう。

(1)N個の気体分子に1からNまでの番号がついているものとする。

(2)N個の気体分子から一つをランダムに選び、その番号の分子を壺から抜き取りもう一方の壺へと入れ替える。

(例:番号Iが選ばれたとしよう。番号Iのついた分子が壺Aにある場合にはそれを取り出しBの壺へ入れる、逆に壺Bにある場合には壺Aへと入れ替える。)

この操作を繰り返していったときにA、Bの壺の中の分子数がどのように変化するのかを確率ゲームとして理解しようというわけである。

これだけの操作で平衡状態が実現するのだろうか。また実現するとしたら気体分子の個数はどうなるのだろうか。単純には平衡状態が実現し、分子の個数は半々に平均化されると予想されるが、それを数学的に示せるだろうかという問題である。



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