アトムの物理ノート

確率空間の定義

次の三つの言葉の定義をしておく。

全事象： Ω　(考えうる全ての事象）
確率　： PはΩの部分集合族Fσから[0,1]への写像を与える。
D(P)　： Pの定義域、つまりFσ

注意は確率PはΩの全ての部分集合に定義されるとは限らないことである。これは全事象として無限集合を考える場合に必要なものである。サイコロをふる場合のような有限な全事象Ω={1,2,3,4,5,6}の場合はIの目がでる根幹事象E_I全てにPが定義されており、Ωのσ加法族も全部分集合である。

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次の（１）〜（３）の性質を持つΩの部分集合の族をΩのσ加法族と呼び記号Fσで表す。

σ加法族Fσ     （１）Ω ∈ D(P)     （２）A ∈ D(P)ならば AC ∈ D(P)     （３）Ai ∈ D(P); (i=1,2,3,....）ならば　∪i Ai ∈ D(P)

σ加法族の定義から次のことが導ける

(系1)φ∈D(P)
証明：φ=Ω^Cからσ加法族の定義（２）を適用

(系2)A, B ∈D(P)なら　A∪B∈D(P)
証明：A∪Bは（３）から。

(系3) A, B ∈D(P)なら　A∩B∈D(P)
証明：上の性質を使えば
A^C,B^C∈D(P)
⇒A^C∪B^C∈D(P)
⇒(A^C∪B^C)^C∈D(P)
が得られるが、実は
A∩B=((A∩B)^C)^C=(A^C∪B^C)^C
である。

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σ加法族Fσに対して関数Pが次の性質を満たすとき、確率(測度ともいう）が定義されているという。

確率関数の性質 (1)　P(Ω) = 1 (2) 0≦P(A)≦1 , ∀A ∈Fσ (2) Ai∩Aj=φ(空集合）（i≠j) ならば P(∪iA) = Σi P(Ai)

確率関数の性質より
（系1) P(φ)=0が導ける
証明：先ずφ∈Fσ （σ加法族の系１より）であるから0≦P(φ)≦1である。またφ∩φ=φであるから、φ自身は自分と排他的であり、確率関数の性質（３）より

P(φ∪φ) = P(φ)+P(φ)

であるが一方φ∪φ=φでもある。つまり

P(φ）＝P(φ)+P(φ)　⇒　P(φ)=0.

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最後に全事象、σ加法族、確立の具体例をあげておく。全事象が有限な場合(サイコロ）はσ加法族はあらゆる事象の全ての組み合わせである。

全事象はΩ={1,2,3,4,5,6}。根幹事象（iの目が出る事象)をe_iとすると、根幹事象の全組み合わせ

(1)一つ事象： iの目が出る事象=e_i,
(2)二つの事象のどちらか： iまたはj(i≠j)の目が出る事象={e_i, e_j} ,
(3)三つの事象のどちらか： i, j, kのどれかの目が出る事象={e_i, e_j , e_k}
....

などを全て集めたものがσ加法族である。その確率は P( {e_i, e_j} ) = P( e_j ) + P( e_j) = 1/6+1/6.


全事象が無限集合の場合、例えば数直線[0,1]上に針を落としてでてきた数を事象とすると、Ω={x∈[0,1]}は無限個の要素（実数値）を持つ。このような場合根幹事象e_x=x∈[0,1]に確率を定義することはできない。なぜなら各事象に確率 0≦P(x)≦１を与えると、全事象の確率＝Σ_xP(x)が発散してしまう。よって確率論を当てはめるためには工夫が必要である。そこで全事象のある部分集合族に確率を与えるというアイディアがでてくる。(量子力学の波動関数の二乗が確率ではなく、確率密度と呼ばれる事と同じ）具体的な構成はおいおいわかって来ると思われるのでこれくらいの理解で満足しておく。