2017-04

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級数和の数値計算 その2

前回ゼータ関数のs=2での値 ζ(2)=π2/6 を級数和を取って評価しました。ζ(2)は級数和の収束性が問題になり、単純な和を取る方法では10桁の精度で答えを出すのは難しいという結論になりました(勿論コンピューター・パワーによりますが)。そこで以前調べたオイラー・マクローリンの総和法を使って級数和を評価してみましょう。オイラーは収束性の悪い級数を評価するためにこの方法をあみ出したということらしいです(自分で歴史を調べてないのでちょっと自信がありませんが、多分間違ってないでしょう)。 今回は結果だけを示して、次回以降に詳細は説明します。ゼータ関数にオイラー・マクローリンの総和法を適用して数値計算する場合の注意点なども次回やります。

オイラーマクローリン総和法によるゼーター値の結果は

ζ(-5) = -0.003968253968
ζ(-4) = 0.
ζ(-3) = 0.008333333333
ζ(-2) = 0.
ζ(-1) = -0.08333333333
ζ(0) = -0.5000000000
ζ(1) =  発散
ζ(2) =  1.644934067
ζ(3) =  1.202056903
ζ(4) =  1.082323234
ζ(5) =  1.036927755

となりました。表示されている数字は全て正確な値に一致します。オイラー・マクローリン法を使うと負のゼータ値まで計算できてしまうのがちょっと驚きです。循環小数が出てきている場合には正確な値も推測できて

ζ(-3) = 1/120
ζ(-1) = -1/12

を得ます。プログラム自体は10行にもならない程度の簡単ものです。次回以降どのようにプログラミングしたのか説明します。

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