電磁気学 その２
それでは電場や磁場の話に入ろう。私の電磁気学ノートではAμ(x)をゲージ場とよぶことにする。ゲージ・ポテンシャルというよびかたも良く使われているが、Aが我々の３次元空間にxiに広がる場であるという意味合いを強調してゲージ場とよびたい。もちろん時間的変化にも興味があるので、ゲージは時間tと位置xiの関数、Aμ=Aμ(t,xi)である。読者は電荷の周りには、ゲージ場が広がっているというイメージを持ってほしい。ゲージ場の源になっている電荷を動かせば、それによってゲージ場が揺れ動く。この揺れ動きは波となって、空間の各点に次々と伝わってゆく。水面に浮かぶ小舟が揺れ動き、波が水面を伝わってゆくあのイメージが浮かんでくるだろうか。数学的にこのイメージが正しいのかどうか、そういった問題は後々議論しよう。 さてこのゲージ場を観測するためにはどうすればよいのだろうか？このノートでは電場や磁場は二次的なものだという立場を取るわけだからゲージ場を見てみたいわけだ。読者をがっかりさせるかもしれないが、このゲージ場は決して見ることができない。磁石のまわりに鉄粉を撒こうが、電荷の周りに試験電荷を置いて調べてみようとしてもゲージ場は原理的に観測できないのだ。以前にゲージ場は実在性をもっているといったが、観測できないゲージ場に実在性があるといえるのだろうか？答えは、量子力学的にはゲージ場を"みる”事ができるのだが、そのからくりは複雑なのでこのノートの最後にでも説明することにしよう。とりあえずゲージ場は観測にかからないことがそのうち理解できるので気にせず読み進めてほしい。このノートを読み終えた暁にはゲージ場は観測にかからないんだと納得してもらえると思う、そうなるように書いてゆくつもりだ。
ゲージ場を電荷の周りに広がる場だというイメージ、そしてそれら電荷を動かせば水面に伝わる波動のイメージと重なるといった。図を見て欲しい、これがxy平面に描いたゲージ場(Ax,Ay)である。誤解する読者がいるかもしれないので、ことわっておくがゲージ場の成分はAx,yは数学的な空間にあるベクトルなのでそれをxy平面に射影してかくのは本来正しくない。その事を承知したうえで、xy平面にゲージ場の成分を描いた。また本来４成分もあるゲージ場を図に描くことはできないので、２成分Ax, Ayだけを描いてある。イメージがわいてきた読者は(t,x,y,z)の４次元空間の各点に４成分のベクトル(A0, A1, A2, A3)があることを心の目で見て欲しい。
さて、図に描いたゲージ場(Ax, Ay)の様相をみると、ベクトルがクルクルと渦を描いていることに気がつく。さて直感でなんとなくわかる渦というものを数学では回転と呼ぶ。回転の強さを表す量Ｆを以下のように定義する。
Fμν=∂μAν-∂νAμ
我々は各平面における回転を定義した。μνの二つの添え字があるのは、xy平面で回転してるのかそれともyz平面での回転なのか、考えている平面を指定するための二つの軸に対応したμとνである。数学的ではあるが時空間での回転、つまりtx平面での回転もある（時空間での回転のイメージをもとうという努力はしたことがない）。この回転Fμνであるが、μ=νの時はゼロである。回転を調べる平面は２つの軸を指定してやらねばならない。またFμν=-Fνμである。これは数学的にxy平面の表(z軸の向いてる方向）とyx平面の裏(-z軸の方向）の二つの面を考えているのとおなじ事だ。ただし、表と裏どちらから見るかで、回転の方向が反対になる事に対応する。時計の回るのを時刻板の表と裏から見るので回転の方向が逆になる。
さてゲージの回転を定義したのだが、これが物理とどう関係しているのかということが電磁気学である。我々が見る電場や磁場は、実はこのゲージ場の回転なのである。つまり、回転してるゲージ場だけみえる。数学的にいうなら、ゲージ場自身ではなく、Ｆμνが実験で測定にかかる量である。回転の平面は(xy,yz,zx,tx,ty,tz)と６つある。
つまり回転は６つの成分をもつ。これは電場ベクトルの3成分と磁場ベクトルの3成分の和である。電磁場と回転の関係は
Ei=F0i
Bi=Fjk ただし ε(ijk)=1を満たすjk
これが我々が普段使う電場や磁場の正体だ。ゲージ場の時空平面での回転が電場、空間での回転が磁場というわけだ。
さて上のxy平面に描いたゲージ場から回転を計算して図にしてみると以下のようになる。
図にはx>0, y>0の1/4の領域だけを描いてみた。
xy平面での回転なので
Fxy=∂xAy-∂yAx
を計算したわけだ。そしてこれはｚ軸方向の磁場の強さである。なぜならB3=F12だったからだ。図ではｚ軸方向の高さがBに対応している。磁場はリング状に分布していることがわかるであろう。ゲージ場の回転はここが一番強いのだ。
今回のことをさらに理解するためには、少し自分で手を動かす必要がある。以下に基本的な演習をあげておく。
以下の２次元ベクトルv=(vx,vy)のxy平面（Z軸方向）の回転を計算せよ。
(1)v=(1,0)
(2)v=(0,1)
(3)v=(x,0)
(4)v=(0,x)
(5)v=(y,0)
(6)v=(y,x)
第二回・・・・、あまり進みませんが、１０回程度でまとまるように作りたいと思っています。
ゲージ場を電荷の周りに広がる場だというイメージ、そしてそれら電荷を動かせば水面に伝わる波動のイメージと重なるといった。図を見て欲しい、これがxy平面に描いたゲージ場(Ax,Ay)である。誤解する読者がいるかもしれないので、ことわっておくがゲージ場の成分はAx,yは数学的な空間にあるベクトルなのでそれをxy平面に射影してかくのは本来正しくない。その事を承知したうえで、xy平面にゲージ場の成分を描いた。また本来４成分もあるゲージ場を図に描くことはできないので、２成分Ax, Ayだけを描いてある。イメージがわいてきた読者は(t,x,y,z)の４次元空間の各点に４成分のベクトル(A0, A1, A2, A3)があることを心の目で見て欲しい。
さて、図に描いたゲージ場(Ax, Ay)の様相をみると、ベクトルがクルクルと渦を描いていることに気がつく。さて直感でなんとなくわかる渦というものを数学では回転と呼ぶ。回転の強さを表す量Ｆを以下のように定義する。
Fμν=∂μAν-∂νAμ
我々は各平面における回転を定義した。μνの二つの添え字があるのは、xy平面で回転してるのかそれともyz平面での回転なのか、考えている平面を指定するための二つの軸に対応したμとνである。数学的ではあるが時空間での回転、つまりtx平面での回転もある（時空間での回転のイメージをもとうという努力はしたことがない）。この回転Fμνであるが、μ=νの時はゼロである。回転を調べる平面は２つの軸を指定してやらねばならない。またFμν=-Fνμである。これは数学的にxy平面の表(z軸の向いてる方向）とyx平面の裏(-z軸の方向）の二つの面を考えているのとおなじ事だ。ただし、表と裏どちらから見るかで、回転の方向が反対になる事に対応する。時計の回るのを時刻板の表と裏から見るので回転の方向が逆になる。
さてゲージの回転を定義したのだが、これが物理とどう関係しているのかということが電磁気学である。我々が見る電場や磁場は、実はこのゲージ場の回転なのである。つまり、回転してるゲージ場だけみえる。数学的にいうなら、ゲージ場自身ではなく、Ｆμνが実験で測定にかかる量である。回転の平面は(xy,yz,zx,tx,ty,tz)と６つある。
つまり回転は６つの成分をもつ。これは電場ベクトルの3成分と磁場ベクトルの3成分の和である。電磁場と回転の関係は
Ei=F0i
Bi=Fjk ただし ε(ijk)=1を満たすjk
これが我々が普段使う電場や磁場の正体だ。ゲージ場の時空平面での回転が電場、空間での回転が磁場というわけだ。
さて上のxy平面に描いたゲージ場から回転を計算して図にしてみると以下のようになる。
図にはx>0, y>0の1/4の領域だけを描いてみた。
xy平面での回転なので
Fxy=∂xAy-∂yAx
を計算したわけだ。そしてこれはｚ軸方向の磁場の強さである。なぜならB3=F12だったからだ。図ではｚ軸方向の高さがBに対応している。磁場はリング状に分布していることがわかるであろう。ゲージ場の回転はここが一番強いのだ。
今回のことをさらに理解するためには、少し自分で手を動かす必要がある。以下に基本的な演習をあげておく。
以下の２次元ベクトルv=(vx,vy)のxy平面（Z軸方向）の回転を計算せよ。
(1)v=(1,0)
(2)v=(0,1)
(3)v=(x,0)
(4)v=(0,x)
(5)v=(y,0)
(6)v=(y,x)
第二回・・・・、あまり進みませんが、１０回程度でまとまるように作りたいと思っています。
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