量子力学にける波束 ２
前回の記事で波束の作り方を説明し、私たちが通常粒子だと思っている物は、この波束によって記述できるだろうと書きました。粒子の代表である電子を、波束を使って記述すると、位置や運動量は多少ぼやけてしまいます。しかし、量子論的に広がりを持った状態のほうが自然なのです。問題にすべきは、実験との整合性です。以下では古典的な粒子、つまり我々の身の周りの物体に関して、波束で作った波動関数は殆ど広がらない事を確認します。
（以下、hという記号を用いていますが、これはプランク定数を２πで割ったものです。ブログで細かい記号の出力が難しいのでいつも手抜きをしています）
波束による記述では、ある時刻ｔに、運動量の広がりΔｐ(＝σ)を持った状態は、時間が経てば空間的に広がっていきます。そしてその広がり具合Δx(t)と時間の関係は
Δx(t) ＝ (h/Δp)√[1 + (t/T)2]
で与えられました(前回の記事参照）。ｔ＝０ではこれは位置と運動量の不確定性関係そのものになっています。ここでTは波束が広がってゆくおよその時間を与えるもので、
T ＝ mh/Δp2
運動量の不確定性と速度の不確定性はΔp = mΔｖなので、Tは
T ＝ (h/m)/Δv2
と書くこともできます。
さて時刻ｔ＝０では物質は位置がほぼ確定していたとしましょう。しかし、日常生活で我々が用いる物質であっても、その構成物質である原子は位置に関して多少揺らいでいることでしょう。よってΔx(0)＝10-10[ｍ] くらいの不確定性はあるでしょう。この値から速度の不確定性を算出すると
Δｖ＝ h/Δx/m＝1.1×10-24 [m/s]
となります。ここで身の回りの物質として質量は1kgのものを仮定しました。この値を使ってTを評価すると
T＝9.5×1013 [sec] ＝ 3.0×106年
となります。これは途方もなく長い年月です。このくらいの時間が経てばΔx(t)の式の中でt/Tが次第に大きくなる事を意味します。つまり初期の広がりΔｘ(0)に比べて√[1+(t/T)2]だけ位置の不確定性が大きくなるというわけです。しかしそれでもΔx=0.1[nm]ですから、まだまだこの値は小さい。どのくらい経てば我々の眼に見える程度に波動関数が広がるかというと、例えばΔx(t)=1[m]としてみると
1[m]＝0.1[nm]×√[1+(t/T)2]≒0.1[nm]×(t/T)
→ ｔ＝1[m]/0.1[nm] × T＝3.0×1016年
となります。
つまり我々のが日常生活で波動関数の広がりを目にすることはないというわけです。宇宙の年齢が1010年くらいだと言われていることを考えると、これはもう途方もなく長い時間です。
この計算を追ってみればわかるように、この途方もなく長い時間は、本を正せば、物質の質量がhに比べて大きい事に起因しています（ここではｍ＝１ｋｇとした）。波動関数が比較的早くに広がるには、初速度の揺らぎΔｖがそれなりに大きくなければなりません。重い粒子ほど静止する性質が強いために、Δｖがある程度大きな値を持つには、電子のような軽い粒子でなければなりません。量子力学がミクロな領域で利いてくるのは、電子質量の軽さに原因があったわけです。そもそもプランク定数hが非常に小さい量ですから、それに対応して小さい質量を持った粒子の場合にのみ、量子力学の特徴が顕著になるというわけです。
（以下、hという記号を用いていますが、これはプランク定数を２πで割ったものです。ブログで細かい記号の出力が難しいのでいつも手抜きをしています）
波束による記述では、ある時刻ｔに、運動量の広がりΔｐ(＝σ)を持った状態は、時間が経てば空間的に広がっていきます。そしてその広がり具合Δx(t)と時間の関係は
Δx(t) ＝ (h/Δp)√[1 + (t/T)2]
で与えられました(前回の記事参照）。ｔ＝０ではこれは位置と運動量の不確定性関係そのものになっています。ここでTは波束が広がってゆくおよその時間を与えるもので、
T ＝ mh/Δp2
運動量の不確定性と速度の不確定性はΔp = mΔｖなので、Tは
T ＝ (h/m)/Δv2
と書くこともできます。
さて時刻ｔ＝０では物質は位置がほぼ確定していたとしましょう。しかし、日常生活で我々が用いる物質であっても、その構成物質である原子は位置に関して多少揺らいでいることでしょう。よってΔx(0)＝10-10[ｍ] くらいの不確定性はあるでしょう。この値から速度の不確定性を算出すると
Δｖ＝ h/Δx/m＝1.1×10-24 [m/s]
となります。ここで身の回りの物質として質量は1kgのものを仮定しました。この値を使ってTを評価すると
T＝9.5×1013 [sec] ＝ 3.0×106年
となります。これは途方もなく長い年月です。このくらいの時間が経てばΔx(t)の式の中でt/Tが次第に大きくなる事を意味します。つまり初期の広がりΔｘ(0)に比べて√[1+(t/T)2]だけ位置の不確定性が大きくなるというわけです。しかしそれでもΔx=0.1[nm]ですから、まだまだこの値は小さい。どのくらい経てば我々の眼に見える程度に波動関数が広がるかというと、例えばΔx(t)=1[m]としてみると
1[m]＝0.1[nm]×√[1+(t/T)2]≒0.1[nm]×(t/T)
→ ｔ＝1[m]/0.1[nm] × T＝3.0×1016年
となります。
つまり我々のが日常生活で波動関数の広がりを目にすることはないというわけです。宇宙の年齢が1010年くらいだと言われていることを考えると、これはもう途方もなく長い時間です。
この計算を追ってみればわかるように、この途方もなく長い時間は、本を正せば、物質の質量がhに比べて大きい事に起因しています（ここではｍ＝１ｋｇとした）。波動関数が比較的早くに広がるには、初速度の揺らぎΔｖがそれなりに大きくなければなりません。重い粒子ほど静止する性質が強いために、Δｖがある程度大きな値を持つには、電子のような軽い粒子でなければなりません。量子力学がミクロな領域で利いてくるのは、電子質量の軽さに原因があったわけです。そもそもプランク定数hが非常に小さい量ですから、それに対応して小さい質量を持った粒子の場合にのみ、量子力学の特徴が顕著になるというわけです。
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