アトムの物理ノート

静電荷分布の次に簡単な状況を考える。電荷分布は０で定常電流が流れている状況、つまりj^μ(t,x)=(0, j(x))を考える。導線の中を電流が流れている状況だ、電子と正の電荷を帯びた原子核で電気的には中性なのだ。 電磁場の運動方程式にこの式を代入すると、

ν=i の式から 　→ ∂_μ F^μi　=jⁱ → ∂_k F^ki　=jⁱ
ν=0　の式から　 →　∂_μ F^μ0　=0 →　∂_k F^k0　=0


がでる。前回と同じく静的な電磁場の解、つまり時間微分の項を落とした。ここでも解の一意性*を考えると電場E^k=F^k0はゼロとなるだろう。電荷分布がゼロなら電場はできないというだけだ。磁場に関する式を逆微分を使って変形してみると

ν=i の式から 　→ 　F^ki　=1/∂_k jⁱ → B=1/∂ jⁱ
ν=0　の式から　 →　∂_k F^k0　=0　→　Eⁱ=0

磁場B^j=F^ki (ε_kij=1)の方程式をデルタ関数と使って変形してやると


B(x)=F^ki(x)　=1/∂_k jⁱ(x)
=1/∂_k ∫dy [δ(x-y)] jⁱ(y)
=∫dy jⁱ(y) [1/∂_k δ(x-y)]
=∫dy jⁱ(y) [r^k/r³]
=∫dy [r^kjⁱ(y) /r³]
=∫dy [r×j(y) /r³]

つまり定常電流は磁場のみを生み出すということだ。まとめておこう
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j^μ(t,x)=(0, j(x))

↓

(1) B(x)=∫dy [r×j(y)/r³]　　　(r=x-y)

(2) E(x)=0
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*：ここで、解の一意性とは微分方程式を満足する解が一つわかれば、それが実際の電磁気現象で実現しているというくらいの意味で使っている。厳密には一回微分方程式の解には一つの任意定数が入る自由度があるので、一つの解E=f(x)が分かったとしてE=f(x)+c (c=定数）も答えだ。つまり電場はゼロでなくE=c　（c=定数）でも良いわけだが、電場が空間全体にあるというのはエネルギーが無限大なので c=0　と取ったことになっている。