アトムの物理ノート

今回はWKBJ近似の別名、(準）古典近似について書きたいと思います。古典近似はシュレディンガー方程式の解をプランク定数ｈが小さい極限から出発して、求めてゆこうというアイディアです。

通常量子力学で、ｈをゼロに持っていく極限は古典力学に対応するだろうと予想されます。その意味でこの近似を古典近似と呼ぶわけですが、それは古典近似の一面を表していますが全てではありません。というのも、この方法を用いることによって量子力学特有の現象であるトンネル効果を説明できるからです。そこで、これを古典近似を含むもう少し広い枠組みであることを念頭において準古典近似と呼ぶことが多いようです。

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考える問題は、一般的なポテンシャル問題ですが質量やｈを右辺に移して整理して、シュレディンガー方程式を以下のように書いておきます。

ψ''(x) ＝ -2m(E-V(x))/h² ψ(x)

V(x)＝Vが定数の場合は、平面波が解で、それは

ψ(x)　＝　C₊　exp(-ipx/h) + C_- exp(ipx/h)

です。ここでｐは粒子の運動量に対応して p＝(2m(E-V)/h²)^1/2。これは勿論ポテンシャルが定数の場合にしか正しくありませんが、ポテンシャルの変化が緩やかな場合には大体正しい答えを与えるだろうと予想されます。今回はそういった状況をもう少し詳しく調べてみます。

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系統的な近似法を考えたいので、先ずは一般的に、波動関数を

ψ(x)＝exp（i/h Φ(x))

と書いておきます。ポテンシャルが定数の場合にはΦ(x)→±ｐとなるはずですが、計算を正しく行えばそのことは自然と導かれるはずなので、忘れてもらっても結構です。波動関数ψをΦを用いて表わしたこの式は特殊なことをやっているわけではありません、今のところ近似も何も入っていません。極一般的に波動関数をこういった風に書き直すというだけのことです。これをシュレディンガー方程式に代入すると

h^-2 [Φ'(x)]² - i h^-1 Φ''(x) ＝　2m(E-V(x))/h²

が得られます。ここから古典近似が始まります。それはΦ(x)をプランク定数ｈでテイラー展開して

Φ(x)＝Φ₀(x)＋h Φ₁(x)＋h² Φ₂(x)＋.....

という形で解いてゆこうという方法です。話の流れを整理するためにもう一度まとめておきます。

古典近似では波動関数を以下のような形で解く   　ψ(x)＝exp（i/h Φ(x))　   　Φ(x)＝Φ0(x)＋h Φ1(x)＋h2 Φ2(x)＋.....    位相Φ(x)に対するシュレディンガー方程式   　[Φ'(x)]2 ＝　2m(E-V(x))　+　i h Φ''(x)

次回はΦ(x)のｈに関する冪展開を求めてゆくことにします。Φに対するシュレディンガー方程式でｈの項を無視すればΦ₀(x)と運動量ｐが関係つきそうなのが見えていますが、それも次回詳しくやります。