2017-05

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≪ WKBJ 4 古典近似 ALL Airy関数の理論 その1 ≫

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WKBJ 5 古典近似

前回導出したΦの微分方程式は

[Φ'(x)]2 = 2m(E-V(x)) + ihΦ''(x)


です。後々の便宜を図るために、

p(x)≡ [2m(E-V(x))]1/2

を導入しておきます。

ポテンシャルが定数の場合にはこれは、当に運動量の値です(全エネルギーからポテンシャルを引くと運動エネルギーです。それを2m倍してルートを取ると運動量でした:K=E-V=p2/(2m))。V(x)がxに依存しているので運動量も位置に依存しています。さて、通常hの一次までの計算しか行わないので、先ほどのシュレディンガー方程式を

Φ'(x) = ± [p(x) + ihΦ''(x)/(2p(x)) + O(h^2)]

と書き直したほうが良いでしょう。位相Φにhのテイラー展開

Φ(x) = Φ0(x) + h Φ1(x) + O(h^2)

を代入してhの冪ごとに整理すると

Φ0'(x) = ± p(x) 

Φ1'(x) = ± (i/2) Φ0''(x)/p(x)

という二つの式が得られます。これはもう簡単でしょう。





   Φ(x)=Φ0(x)+h Φ1(x) + O(h^2)

   Φ0(x)=±∫x p(y) dy

   Φ1(x)= i log(√p(x)) + c    (cは任意の積分定数)



±の符号は二回微分方程式の解が二つあることに対応しています。よって一般の波動関数は対応した二つの解の重ね合わせになります。またΦ0(x)の解に現れた積分の下限とΦ1(x)の解の任意定数は波動関数の規格化条件で吸収されるので気にする必要はありません。この答えを代入して




   ψ(x) = C+ /√p(x) exp[+i/h ∫x p(y) dy] + C- /√p(x) exp[-i/h ∫x p(y) dy]



二つの独立解を任意定数C±で重ね合わせたのでeの肩にある積分∫x p(x)の下限を任意に取る自由度があることに注意してください。それは後々便利の良いように選べば良いでしょう。

ここで計算は一段落です。後はこの解の物理的な意味を調べる事になります。トンネル効果とボアーの量子化条件に関係した事を書いて古典近似については終わりです。とはいってもそれらはちょっとした数学的なテクニックを必要とするので長くなりそうです。

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