2017-10

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≪ Airy関数の理論 その2 ALL 難問その1 の部分解答 ≫

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Airy関数の理論 その3

漸近展開に入る前に、積分経路の変更について補足しておきたいと思います。 第一回目の記事でAiry関数をフーリエ変換を用いて求めました。

Ai(x)=(2π)-1∫dk exp[i(kx + 1/3 k3)]

その後、フーリエ変換から積分経路を複素平面に拡張して、収束性の良い表示を得る方法を調べました。フーリエ変換でkを複素平面へ拡張するというのはラプラス変換との関係から良くやられる事ですが、そうなると結果はすでにフーリエ変換ではありません。つまり最初にフーリエ変換を導入したのは全く便法であって、実際はAiry関数の積分表示を考えようといっても良かったわけです。

kを複素平面での経路にそってパラメーター表示して

k=k(t) →  dk = J dt  (J=dk/dt)

Airy(x)= (2π)-1Cdt J(t) exp[i(k(t)x + 1/3 k(t)3)]

を考えてみると、これもエアリの微分方程式を満たすことが分かります。規格定数を除いて、Airy関数の微分を取ってみます。

d2/dx2Cdt J(t) exp[i(k(t)x + 1/3 k(t)3)]
= ∫C dt J(t) d2/dx2 exp[i(kx +1/3 k3)]
= ∫C dt J(t) (ik)2 exp[i(kx + 1/3 k3)]
= ∫C dt J(t) [i∂/∂k + x] exp[i(kx + 1/3 k3)]


ここで

∂/∂k = (∂t/∂k)∂/∂t = J-1∂/∂t

を用いると第一項はt 積分の表面項です。よって

Airy''(x)=1/(2π)[expi(kx+1/3 k3) ]∂C+ x Airy(x)

となります。ここで積分の表面項が消える事(∞まで積分経路が走る場合には、これは積分の収束条件と同じ)を要求すれば、積分経路を任意のCにとったAiry関数もAiと同じ微分方程式を満足します。よって適当に積分経路を選んでも、微分方程式の解を構成する事ができるわけです。

よって積分経路の変更などと言わずに、最初から境界条件を満たす任意の複素平面上の経路を考えるということも当然可能だったわけです。勿論、積分経路の変更の自由度はありますが、二回微分方程式の独立解が二つあることに対応して、独立な経路(コーシーの積分定理を使った経路の変更が許されないという意味の独立性)も二つあるべきでしょう。実際Ai関数とBi関数の経路は非正則な領域で遮られているので互いに移り変わることはできません。

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