2017-11

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≪ Airy関数の理論 その3 ALL 難問その1 の部分解答の続き ≫

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難問その1 の部分解答

積分

I n= ∫0→∞dt [(1-e-t)/t]n

とnの積

limn→∞ n I n

の極限を求めよ、という問題を考えてみます。


ちょっと解説が面倒なので、大雑把なことを調べてから、後で精密化していきたいと思います。まず、被積分関数はn→∞の極限で

limn→∞ [(1-e-t)/t]n =0 (t≠0)

となります。t=0では被積分関数は1ですから、nを∞にしても1です。つまりこの被積分関数はn→∞の極限でt=0にだけ値を持つような関数です(δ関数と似ています)。この事からn→∞の値はt=0付近だけを計算すればよいということが分かります。つまり

I n ~ ∫0→δdt [(1-e-t)/t]n ~ ∫0→δdt [1-t/2]n ~2/(n+1) [1-t/2]n+1|0→δ ~ 2/(n+1)

δは適当な小さな値ですが、最後の式ではそれは無視しました。よって極限は

limn→∞ n I n=limn→∞2n/(n+1)= 2

となります。それでは、詳しい精密な話を始めたいと思いますが、それをここに書くにはスペースが狭すぎる・・・ということで締めくくりたいと思います。 細かい話を書くにはもう少し酒を飲まないと気分がのりません。そういえばジャッキーチェンの「酔拳」は子供心にドキドキワクワクさせられたのを覚えています。



コメント

このあとどのように続いていくのか全然予想もつかないです。
大変楽しみにしてます。

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