アトムの物理ノート

積分

I _n= ∫_0→∞dt [(1-e^-t)/t]ⁿ

とｎの積

lim_n→∞ n I _n

の極限を求めよ、という問題を考えてみます。


ちょっと解説が面倒なので、大雑把なことを調べてから、後で精密化していきたいと思います。まず、被積分関数はｎ→∞の極限で

lim_n→∞ [(1-e^-t)/t]ⁿ ＝０　（ｔ≠0)

となります。ｔ＝０では被積分関数は１ですから、ｎを∞にしても１です。つまりこの被積分関数はn→∞の極限でｔ＝０にだけ値を持つような関数です（δ関数と似ています）。この事からｎ→∞の値はｔ＝０付近だけを計算すればよいということが分かります。つまり

I _n 〜　∫_0→δdt [(1-e^-t)/t]ⁿ　〜　∫_0→δdt [1-t/2]ⁿ　〜2/(n+1) [1-t/2]ⁿ⁺¹|_0→δ　〜　2/(n+1)

δは適当な小さな値ですが、最後の式ではそれは無視しました。よって極限は

lim_n→∞ n I _n＝lim_n→∞2n/(n+1)＝　２

となります。それでは、詳しい精密な話を始めたいと思いますが、それをここに書くにはスペースが狭すぎる・・・ということで締めくくりたいと思います。　細かい話を書くにはもう少し酒を飲まないと気分がのりません。そういえばジャッキーチェンの「酔拳」は子供心にドキドキワクワクさせられたのを覚えています。