2017-04

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≪ 難問その1 の部分解答 ALL 難問その1 の発展 ≫

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難問その1 の部分解答の続き

こんな問題、誰も注目しないと思っていましたが、 俄僅 さんが興味を示してくれました。数少ない読者を失うわけにはいきませんから、この要望は無視できません。ということで証明の最後の詰めを書きたいと思います。本題は次の極限を考えなさいというものでした。

limn→∞n∫dx1∫dx2....∫dxn 1/[x1+x2+.....+xn]

(全てのxは積分範囲 [0, 1]とします) ところが前回の部分解答では、唐突に

limn→∞ n ∫[0, ∞] dt [(1-e-t)/t]n = 2

を証明しました(かなり手抜きですが)。そこで、今回は、二つの積分の関係を付ければ問題が解けたということです。
さて、この二つの関係、ラプラス変換を知っていると簡単です。何故そんなもの知っているんだという質問はしないでください。だって、知っていたからたまたま解けたという以外に答えようがありません。すみません。 で、ラプラス変換(定数のラプラス変換)の公式

[0, ∞]dt e-tA = 1/A


を使います。すると問題の被積分関数は

1/[x1+x2+.....+xn] 
= ∫[0, ∞]dt e-t(x1 + x2 + .... + xn)  
= ∫dt e-tx1 e-tx2 .... e-txn


最後の式では各xの関数が積の形になっていることが大事です。つまりこの形ならn個のx積分が全て掛け算になってしまうわけで、簡単にできます。この手のマジックはラプラス変換ではよく現れます。微分方程式が掛け算に変換されたりとかね。さて、各x積分は簡単で


[0, 1]dx exp(-tx) = (1-e-t)/t

です。これで前回やった問題の積分と関係づいたことになります。つまり


limn→∞n∫dx1∫dx2....∫dxn 1/[x1+x2+.....+xn] = limn→∞ n ∫[0, ∞] dt [(1-e-t)/t]n = 2

です。ひねりも何もなく申し訳ない。もっとエレガントな解答知っている人は是非教えてください。

コメント

なるほどラプラス変換とは。。。これなら変数を分離して個別に積分できますね。
うーん、なるほど。

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