2017-11

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≪ 難問その1 の部分解答の続き ALL 漸近級数 1 ≫

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難問その1 の発展

難問その1の私なりの解答は書きましたが、餓僅さんのアイディアは統計的手法でこの問題が解けるかもしれないというもので面白いと思いました。また、「統計」と聞いて平均場近似を頭に浮かび、同時に平均場近似を使うときの注意と関係して以下のよう場合を考えてみると面白いかもと、多少問題を一般化してみました。


問題:積分I n に関してn×I nの n→∞ の極限を求めよ。

I n = ∫dx1∫dx2....∫dxn 1/[x1m + x2m + ..... + xnm]

m=整数 

つまり、難問その1の積分で分母の各xについての冪を一般化しただけです。ちょっと計算してみた結果m=2は解けそうです。積分の収束性などの細かいところを詰めていないのですが、たぶん解けるでしょう。
もしm=2ができたら、3や4でも同様にできそうです。ここでは任意の整数mと、ちょっと欲張ってみました。この問題が解ければ餓僅さんのアイディアについて多少理解深まるような気がします。

コメント

出張おつかれさまでした。

<f(x1、x2、…)>=f(<x1>、<x2>、…)ですか。。。

正直言って、誰か確率の専門家が現れて分かりやすく解説して欲しいですね。^^;

先週は出張があり、コメントに対応できませんでした。そういわれれば、<x^m>=1/(1+m)となりますね。そうするとこの場合もうまくいっているような感じですね。
そうなると、ずばり

<f(x1、x2、…)>=f(<x1>、<x2>、…)

にせまらなければなりませんね。一般にはこんなことはいえないので、俄僅さんの方法がうまくいっているなら、何らかの条件を付けたときに成立するとかいうことになっているんでしょうね。少しじっくり考えてみます。 

x_j (1≦j≦n) を等確率で 0 から 1 までの実数値をとりうる確率変数とするとき、
x_j^m の期待値(x_jのm次モーメント)は ∫x_j^m dx = 1/(m+1) なので、
大数の法則より lim (x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m)/n = (x_j^m の期待値) = 1/(m+1)
となって欲しいところです。

ところが、僕がかじった知識では、大数の法則は平均値に関するもので、
一般のm次モーメントに適応できるかは不安です。
別の確率変数を用いて y_j = x_j^m と置換できればいいのですが……この場合の置換って何?

そもそも x_j を等確率で 0 から 1 までの実数値をとりうる確率変数と述べましたが、
これは「x_j が 0≦x_j≦a (0≦a≦1) となる確率は a に等しい」という意味です。
これを P(0≦x_j≦a)=a のように書きます。

ちゃちゃっと式変形して、
 P(0≦x_j≦a)=a
 P(0≦x_j^m≦a^m)=a
 P(0≦y_j≦a^m)=a
 P(0≦y_j≦b)=b^(1/m) (b=a^mとおいた) となって欲しい。

y_j = x_j^m と定義すると y_j の確率分布は
「y_j が 0≦y_j≦b (0≦b≦1) となる確率は b^(1/m) に等しい」となるらしい。
y_j の分散などは有限値に収束する(大数の法則が弱も強も適用できる)っぽい。
ちなみに y_j の期待値も 1/(1+m) となる。

以上より
(x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m)/n = (y_1 + y_2 + ... + y_n)/n かつ
lim (y_1 + y_2 + ... + y_n)/n = 1/(1+m)
なので
lim (x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m)/n = 1/(m+1)

ここから、以前と同様に考えて lim n・I_n = m+1 となるみたいですね。
(以前や今回の推測が正しいとして)

「x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m を基本対称式で表して」のように書いたのは、
lim n^m・I_n を考えてしまっていたからでした。^^;
分母に ((x_1 + x_2 + ... + x_n)/n)^m を作ってなんとかすればいいかな?と思っていたのですが、
基本対称式の (x_1 x_2 + ...) の期待値を考えた時点で、
さすがに自分は何か勘違いしてると思いました。

発散する n^m・I_n に手を出してしまうあたり、
自分のオーダーのセンスはすこし改善の必要があります。


余談

ここでは「∫...∫ dx_1 ... dx_n (積分区間は 0 から 1 )」を単に「∫」と書きます。

積分のシュワルツの不等式から
(∫ f g )^2 ≦ (∫ f^2 ) (∫ g^2 ) が成り立つ?(等号成立条件が不明)

f = √(x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m)
g=1/f
とおくと
1/(∫ f^2 ) ≦ (∫ g^2 ) = I_n
1+m ≦ n・I_n

とはなるのですが、上限が不明なのでこれ以上手が出ませんでした。

I_n はラプラス変換すると exp(-t x^m) の積分が出てきて、
これはこれで手におえませんでした。厳しい……

僕の方法だと
x_1^m + x_2^m + ... + x_n^m を基本対称式で表して
基本対称式の極限での期待値を求めれば、できそうではありますが……

あとでやってみます。(ノд`)・゜・゜

この問題の答えはは(1+m)になりました。
平均を使った方法でこれを再現しようとすると<x>=(1+m)^(-1/m)を導く必要がありそうですが、どうでしょうか。

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